Persamaan linear adalah persamaan aljabar di mana setiap sukunya berupa konstanta atau hasil perkalian konstanta dengan satu variabel yang dipangkatkan satu ($x^1$). Ketika digrafikkan, persamaan ini selalu membentuk garis lurus. Persamaan ini dapat memiliki satu, dua, atau lebih variabel.

Persamaan dalam Dua Variabel

Jika kita dapatkan dua faktor yang tidak diketahui, dapat kita sebutkan bahwa kita dapatkan dua variabel. Misalkan kita diberikan dua persamaan berikut

Kita ingin menyelesaikan persamaan-persamaan ini untuk $x$ dan $y$. Kita akan mencoba menyelesaikan persamaan di atas mengikuti metode eliminasi. Kita mencoba menghilangkan $x$, misalnya, sehingga hanya tersisa satu persamaan untuk $y$. Kita perhatikan bahwa $x$ dikalikan dengan 2 pada persamaan pertama dan dengan 3 pada persamaan kedua. Kita ingin mengalikan setiap persamaan ini dengan angka yang sesuai sehingga koefisien $x$ menjadi sama. Jadi kita mengalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 2. Kita peroleh

Jika sekarang kita kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, yaitu kurangkan setiap sisi persamaan masing-masing dari sisi yang sesuai dari persamaan pertama, kita lihat bahwa $6x$ saling menghilangkan, dan kita temukan

dimana

sehingga

Kita kemudian dapat menyelesaikan untuk $x$, menggunakan persamaan(1), yang memberikan $2x=1-y$. Jadi

Dimana

Dengan demikian, maka jawaban kita adalah

Jika kita menginginkan $x$ dalam bentuk paling sederhana, kita selalu dapat menulis $x = \frac{6}{7}$, namun $\frac{12}{14}$ juga cukup benar.

Sebagai variasi, kita juga bisa menghilangkan $y$ terlebih dahulu. Jadi, kita kalikan persamaan pertama dengan 2, biarkan persamaan kedua tidak berubah, dan jumlahkan kedua persamaan tersebut. Kita peroleh:

Dengan melakukan penambahan kita dapatkan

Jadi $7x = 6$ dan $x = \frac{6}{7}$, yang tentu saja sama dengan jawaban yang kita temukan di atas. Kita kemudian dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk $y$, yaitu

sehingga

Suatu sistem persamaan linear mungkin tidak memiliki solusi. Misalnya, sistem tersebut

jelas sekali tidak ada solusinya. Sistem berikut

juga tidak memiliki solusi. Bahkan, solusi apa pun dari $6x — 5y = 7$ juga merupakan solusi dari

(bagi persamaan dengan 3), dan lagi-lagi jelas bahwa tidak ada solusi simultan yang ada untuk sistem persamaan (4).

Kami tidak ingin terlalu menekankan di sini teori yang secara tepat menentukan kasus-kasus di mana solusi ada dan kapan tidak ada. Solusi “biasanya” ada, kecuali jika kita memiliki kasus yang pada dasarnya seperti contoh di atas. Tujuannya di sini terutama untuk membuat kita merasa nyaman dengan dua persamaan sederhana dengan dua variabel, sehingga kita memiliki pendekatan sederhana untuk menyelesaikannya. Tidak ada maksud untuk membebani atau membuat khawatir tentang hal itu.

Saat mempelajari tentang koordinat, kita akan melihat bahwa persamaan simultan yang telah kita pertimbangkan mewakili garis lurus, dan bahwa menemukan solusi simultannya memberikan koordinat titik perpotongan garis-garis tersebut.

Satu catatan terakhir. Perhatikan bahwa prosedur eliminasi kita sebenarnya membuktikan bahwa jika $x, y$ adalah angka yang memenuhi persamaan simultan, maka keduanya harus memiliki nilai yang diperoleh dengan metode yang ditunjukkan. Sebaliknya, nilai-nilai untuk $x, y$ sebenarnya adalah solusi dari persamaan tersebut. Ini dapat diperiksa setiap kali secara eksplisit. Untuk membuktikannya secara umum mudah tetapi membutuhkan pengaturan notasi yang nyaman dan penggunaan huruf umum untuk koefisien persamaan. Di sini kita tidak ingin terjebak dalam abstraksi. Tujuan di bagian ini hanyalah untuk memperlihatkan cara sederhana dan efisien untuk menemukan solusi dari sistem persamaan sederhana.

Persamaan simultan seperti di atas dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang telah kita berikan dalam konteks satu variabel di akhir bagian sebelumnya. Berikut contohnya.

Contoh. Seseorang melakukan perjalanan dan mengemudi selama 8 jam, menempuh jarak 400 km. Kecepatan rata-ratanya adalah 60 km/jam di jalan tol, dan 30 km/jam saat melewati kota. Berapa lama orang tersebut mengemudi melewati kota selama perjalanannya?

Untuk menyelesaikan ini, misalkan $x$ adalah lamanya waktu berkendara di jalan bebas hambatan, dan $y$ adalah lamanya waktu berkendara di dalam kota. Maka

Ini memberi kita persamaan pertama. Selanjutnya, jarak yang ditempuh di jalan bebas hambatan sama dengan $60x$, dan jarak yang ditempuh di dalam kota sama dengan $30y$. Oleh karena itu, kita mendapatkan persamaan kedua.

Sekarang kita dapat menyelesaikan kedua persamaan tersebut dengan mengalikan persamaan pertama dengan 60 dan mengurangi persamaan kedua. Kita mendapatkan

atau lebih sederhananya,

Sehingga

adalah jawaban numerik kita, dan orang tersebut mengemudi selama $\frac{8}{3}$ jam melewati kota-kota. Ini tentu saja jawaban yang sama yang kita temukan ketika hanya bekerja dengan satu variabel.

Persamaan dalam Tiga Variabel

Sekarang kita ingin menyelesaikan sistem persamaan seperti

untuk $x, y, z$. Kita mengikuti pola yang sama seperti sebelumnya, secara berurutan menghilangkan $x, y$, dan kemudian menyelesaikan untuk $z$. Kita memilih urutan eliminasi agar lebih mudah bagi kita. Dengan demikian, menambahkan persamaan kedua dan ketiga sudah menghilangkan $x$, jadi kita lakukan hal tersebut, dan mendapatkan

atau

Kita kembali ke (1), dan menghilangkan $x$ dari dua persamaan pertama. Kita kalikan persamaan kedua dengan 3 dan tambahkan ke persamaan pertama. Ini menghasilkan

atau

Kemudian persamaan (2) dan (3) membentuk sepasang persamaan dalam dua variabel yang dapat diselesaikan seperti pada bagian pertama bab ini. Kita kalikan (2) dengan 5, kita kalikan (3) dengan 2, dan jumlahkan. Ini menghilangkan $y$ dan kita peroleh

menghasilkan

sehingga

Setelah menemukan nilai $z$, kita dapat kembali ke (2) atau (3) untuk menemukan nilai $y$. Misalkan kita menggunakan (2). Kita peroleh

Oleh karena itu, dengan membagi dengan 2, kita menemukan nilai $y$, yaitu

Akhirnya kita dapat menyelesaikan $x$ menggunakan salah satu dari tiga persamaan pertama dalam (1). Misalnya kita menggunakan persamaan ketiga. Kita memiliki

Jadi, solusi untuk masalah kita adalah:

Referensi

Serge Lang. (1988). Basic mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1027-6