Bilangan Riil atau Bilangan Nyata

Bilangan integer/bulat dan bilangan rasional adalah bagian dari sistem bilangan yang lebih besar. Seperti yang kita ketahui, bilangan bulat dan bilangan rasional berkorespondensi dengan beberapa titik pada garis bilangan. Bilangan riil adalah bilangan-bilangan yang sesuai atau berkorespondensi dengan semua titik pada garis bilangan. Cara lain untuk menggambarkannya adalah dengan mengatakan bahwa bilangan real terdiri dari semua bilangan yang memiliki ekspansi desimal, yang mungkin tak terbatas. Misalnya

9,123145 \space. \space. \space.

adalah bilangan riil. Mengembangkan teori bilangan riil secara sistematis merupakan proses yang cukup panjang dan membosankan. Oleh karena itu, pertama-tama kita akan meringkas beberapa sifat aljabar yang dipenuhinya, dan kemudian, jika diperlukan, kita akan menyebutkan sifat-sifat lainnya. Kecuali dinyatakan lain, “bilangan” akan berarti “bilangan riil“.

Daftar Isi

Penambahan dan Perkalian

Jumlah dan hasil perkalian dua bilangan adalah bilangan, dan keduanya memenuhi sifat-sifat berikut, serupa dengan sifat-sifat bilangan rasional.

Sifat-sifat penjumlahan. Penjumlahan bersifat komutatif dan asosiatif, artinya untuk semua bilangan real $a, b, c$ kita memiliki

\begin{align*} a+b=b+a && dan && a+(b+c) = (a+b)+c \end{align*}

Lebih lanjut, kita punya

0+a=a

Untuk setiap bilangan real $a$ , terdapat bilangan yang dilambangkan dengan $—a$ sedemikian sehingga

a+(-a)=0

Angka $—a$ disebut invers aditif dari $a$ , seperti sebelumnya. Kita juga membacanya sebagai minus $a$ . Jika $b$ adalah angka sedemikian rupa sehingga $a + b = 0$ , maka kita harus memiliki $b = —a$ , seperti yang kita lihat dengan menambahkan $—a$ ke kedua sisi persamaan $a + b = 0$ . Ini disebut keunikan invers aditif.

Sifat-sifat perkalian. Perkalian bersifat komutatif dan asosiatif, artinya untuk semua bilangan riil $a, b, c$ berlaku

\begin{align*} ab=ba && dan && a(bc) = (ab)c \end{align*}

Lebih lanjut, kita punya

\begin{align*} 1a=a && dan && 0a = 0 \end{align*}

Perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan, artinya bahwa

\begin{align*} a(b + c) = ab + ac && dan && (b + c)a = ba + ca \end{align*}

Sejauh ini, sifat-sifat ini sama dengan sifat-sifat yang dipenuhi oleh bilangan bulat dan bilangan rasional. Secara khusus, sifat-sifat lebih lanjut yang dibuktikan hanya menggunakan sifat-sifat dasar ini yang sekarang berlaku untuk bilangan riil. Misalnya, kita ingat rumus-rumus penting berikut

(a + b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2,

(a — b)^2 = a^2 — 2 ab + b^2,

(a + b)(a -b)=a^2-b^2.

Pernyataan ini benar jika $a, b$ adalah bilangan riil karena pembuktiannya hanya menggunakan sifat komutatif dan asosiatif.

Keberadaan invers perkalian. Jika $a$ adalah bilangan real $\neq 0$ ,
maka terdapat bilangan riil yang dilambangkan dengan $a^{-1}$ sedemikian sehingga

a^{-l}a = aa^{-l} = 1.

Seperti halnya bilangan rasional, bilangan $a^{-1}$ ini disebut invers perkalian dari $a$ . Alih-alih menulis $a^{-1}$ kita menulis $1/a$ , dan

\begin{align*} \text{kita tulis} && a/b && \text{dari pada} && b^{-1}a && \text{atau} && ab^{-1} \end{align*}

Bukti-bukti sifat-sifat mengenai invers sebelumnya hanya bergantung pada sifat-sifat dasar yang telah kita sebutkan sejauh ini, dan karenanya berlaku untuk bilangan riil. Dengan demikian kita memiliki perkalian silang, aturan pembatalan, dll. Kita memiliki keunikan invers perkalian. Yaitu, jika

ab=1

kemudian, dengan mengalikan kedua sisi dengan $a^{-1}$ , terlihat bahwa $b=a^{-1}$ .

Bilangan Riil: Positivitas

Kita memiliki bilangan positif, yang secara geometris diwakili pada garis lurus oleh bilangan-bilangan yang tidak sama dengan $0$ dan terletak di sebelah kanan $0$ . Jika $a$ adalah bilangan positif, kita tulis $a > 0$ . Kita akan mencantumkan sifat-sifat dasar kepositifan yang darinya sifat-sifat lainnya akan dibuktikan.

POS 1. Jika $a, b$ bernilai positif, maka hasil perkalian $ab$ dan jumlah $a + b$ juga bernilai positif.

POS 2. Jika $a$ adalah bilangan riil, maka $a$ bernilai positif, atau $a = 0$ , atau $—a$ bernilai positif, dan kemungkinan-kemungkinan ini saling eksklusif.

Jika suatu angka bukan positif dan bukan $0$ , maka kita katakan bahwa angka tersebut adalah negatif. Berdasarkan POS 2, jika $a$ negatif, maka $—a$ positif.

Kita sudah tahu bahwa angka $1$ adalah positif, tetapi ini dapat dibuktikan dari dua sifat kita, dan aturan dasar untuk penjumlahan dan perkalian. Mungkin Anda tertarik untuk melihat pembuktiannya, yang berjalan sebagai berikut dan sangat sederhana. Berdasarkan POS 2, kita tahu bahwa antara $1$ atau $—1$ adalah positif. Jika $1$ bukan positif, maka $—1$ adalah positif. Berdasarkan POS 1, harus disimpulkan bahwa $(—1)(—1)$ adalah positif. Tetapi hasil perkalian ini sama dengan $1$ . Akibatnya, hasilnya harus $1$ yang positif, dan bukan $—1$ .

Dengan menggunakan sifat POS 1, kita sekarang dapat menyimpulkan bahwa $1 + 1 = 2$ adalah positif, bahwa $2 + 1 = 3$ adalah positif, dan seterusnya. Dengan demikian, panggilan kita

1, 2, 3, \dots

bilangan bulat positif tersebut sesuai dengan dua aturan POS 1 dan POS 2.

Sifat-sifat dasar positif lainnya mudah dibuktikan dari dua sifat dasar tersebut, yaitu:

Jika $a$ positif dan $b$ negatif, maka $ab$ negatif.
Jika $a$ negatif dan $b$ negatif, maka $ab$ positif.
Jika $a$ positif, maka $1/a$ positif.
Jika $a$ negatif, maka $1/a$ negatif.

Salah satu sifat bilangan riil yang kita anggap benar tanpa bukti adalah bahwa setiap bilangan riil positif memiliki akar kuadrat. Ini berarti:

Jika $a > 0$ , maka terdapat suatu bilangan $b$ sedemikian sehingga $b^2 = a$ .

Oleh karena itu, dan berdasarkan Teorema 4, pada artikel ini, kita sekarang melihat bahwa suatu bilangan yang kuadratnya adalah $2$ adalah bilangan irasional, tetapi ada sebagai bilangan riil.

Pertanyaan yang wajar untuk diajukan adalah berapa banyak bilangan yang kuadratnya sama dengan suatu bilangan positif tertentu. Misalnya, apa saja semua bilangan real $x$ sedemikian sehingga $x^2 = 2$ ?

Ini mudah dijawab. Tepat ada dua bilangan seperti itu. Satu adalah bilangan positif, dan yang lainnya adalah bilangan negatif. Mari kita buktikan ini. Misalkan $b^2 = 2$ , dan misalkan $x$ adalah bilangan riil apa pun sedemikian sehingga $x^2 = 2$ juga. Kita memiliki

x^2 — b^2 = 0.

Namun, dengan faktor sisi kiri, kita menemukan

(x + b)(x — b) = 0.

Oleh karena itu, kita harus memiliki

\begin{align*} x + b = 0 && \text{atau} && x — b = 0 \end{align*}

sehingga

\begin{align*} x = -b && \text{atau} && x = b \end{align*}

Di sisi lain, kuadrat dari $-b$ sama dengan 2, karena

(—b)^2 = (—b) (—b) = b^2 = 2.

Dengan demikian, kita telah membuktikan pernyataan kita.

Dari dua bilangan yang kuadratnya adalah $2$ , kita simpulkan dari POS 2 bahwa tepat satu di antaranya adalah bilangan positif. Sekarang kita mengadopsi sebuah konvensi, yang berlaku di seluruh bidang matematika. Kita sepakat untuk menyebut akar kuadrat dari $2$ hanya sebagai bilangan positif $b$ yang kuadratnya adalah $2$ . Bilangan positif ini akan dilambangkan dengan

\sqrt{2}

Oleh karena itu, dua bilangan yang kuadratnya adalah $2$ adalah

\begin{align*} \sqrt{2} && \text{dan} && -\sqrt{2} \end{align*}

dan kita dapat

\sqrt{2}>0

Argumen yang persis sama menunjukkan bahwa, dengan $a$ bilangan positif apa pun, terdapat tepat dua bilangan yang kuadratnya adalah $a$ . Jika $b$ adalah salah satunya, maka $-b$ adalah yang lainnya. Ganti saja $2$ dengan $a$ dalam argumen sebelumnya. Sekali lagi sesuai konvensi, kita misalkan

\sqrt{a}

sebagai lambang bilangan positif unik yang kuadratnya adalah $a$ . Bilangan lain yang kuadratnya adalah $a$ adalah $– \sqrt{a}$ . Kita akan menyatakan hal ini dengan mengatakan bahwa solusi dari persamaan $x^2 = a$ dengan persamaan

x = \pm \sqrt{a}.

Kita membacanya sebagai “ $x$ sama dengan plus atau minus akar kuadrat dari $a$ ”.

Cara lain untuk menyatakannya adalah:
Jika $x, y$ bilangan sedemikian sehingga $x^2 = y^2$ , maka $x = y$ atau $x = -y.$

Namun kita tidak dapat menyimpulkan bahwa $x = y$ . Lebih lanjut, untuk setiap bilangan $x$ , bilangan tersebut

\sqrt{x^2}

adalah $\geq 0$ . Jadi

\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3

Ada notasi khusus untuk ini. Kita menyebut $\sqrt{x^2}$ sebagai nilai absolut dari $x$ , dan menuliskannya dengan

\begin{align*} |-3|=3 && \text{dan juga} && |-5|=5 \end{align*}

Tentu saja, untuk setiap bilangan positif $a$ , kita memiliki

|a|=a

Sehingga

\begin{align*} |3|=3 && \text{dan} && |5|=5 \end{align*}

Kita tidak akan terlalu banyak membahas nilai absolut dalam kesempatan ini, dan kita tidak ingin terlalu menekankannya di sini. Terkadang, kita membutuhkan konsep tersebut, dan kita perlu tahu bahwa nilai absolut dari $-3$ adalah $3$ . Dengan semangat itu, kita memberikan contoh yang menunjukkan cara menyelesaikan persamaan dengan nilai absolut di dalamnya, hanya untuk memperjelas definisinya, tetapi tidak untuk bertele-tele.

Contoh. Temukan semua nilai $x$ sedemikian sehingga $|x + 5| = 2$ .

Untuk melakukan ini, kita perhatikan bahwa $|x + 5| = 2$ jika dan hanya jika $x + 5 = 2$ atau $x + 5 = —2$ . Dengan demikian kita memiliki dua kemungkinan, yaitu

\begin{align*} x = 2 – 5 = -3 && \text{dan} & & x = -5 -2 = -7. \end{align*}

Ini menyelesaikan masalah kita.

Perhatikan

\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Hal ini karena

2=\sqrt{2}\sqrt{2}

oleh karena itu, pernyataan kita benar karena perkalian silang. Sudah menjadi tradisi di sekolah dasar untuk mengubah bilangan seperti

\frac{1}{\sqrt{2}}

menjadi ekspresi lain di mana tanda akar kuadrat tidak muncul di penyebut. Sebenranya melakukan hal ini secara umum tidak terlalu berguna. Mungkin berguna dalam kasus-kasus khusus, tetapi tidak lebih atau kurang dari manipulasi lain dengan hasil bagi, yang akan ditentukan secara ad hoc sesuai kebutuhan. Sebenarnya, dalam banyak kasus, akar kuadrat di penyebut itu berguna. Kami akan memberikan dua contoh bagaimana mengubah ekspresi yang melibatkan akar kuadrat di pembilang atau penyebut. Manipulasi contoh-contoh ini akan didasarkan pada aturan lama

(x + y) (x – y) = x^2 – y^2

Contoh. Perhatikan hasil persamaan

\frac{3}{2+\sqrt{5}}

Kita ingin menyatakannya sebagai hasil bagi di mana penyebutnya adalah bilangan rasional. Kita mengalikan pembilang dan penyebut dengan

2-\sqrt{5}

sehingga

\frac{3}{2+\sqrt5} \space \space \frac{(2-\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})}=\frac{6-3\sqrt5}{2^2-(\sqrt{5})^2}= \frac{6-3\sqrt5}{-1}=-6+3\sqrt5

Contoh. Contoh ini memiliki notasi yang sama dengan kasus sebenarnya yang muncul dalam mata kuliah kalkulus tingkat lanjut. Misalkan $x$ dan $h$ adalah bilangan sedemikian sehingga $x$ dan $x + h$ adalah bilangan positif. Kita ingin menuliskan hasil bagi tersebut

\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}

sedemikian rupa sehingga tanda akar kuadrat hanya muncul di penyebut. Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $(\sqrt{x + h}+\sqrt{x})$ . Kita peroleh:

\begin{align*} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})}{h}\space\space \frac{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} & = \frac{(\sqrt{x+h})^2-(\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ & = \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ & = \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \\ & = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \end{align*}

Sehingga akhirnya kita temukan

\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}= \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}

Pada contoh pertama, prosedur yang telah kita ikuti disebut merasionalisasi penyebut. Pada contoh kedua, prosedur tersebut disebut merasionalisasi pembilang. Dalam pembagian yang melibatkan akar kuadrat, merasionalisasi pembilang berarti kita mengubah pembagian ini menjadi pembagian lain yang sama dengan yang pertama, tetapi tanpa tanda akar kuadrat pada pembilang. Demikian pula, merasionalisasi penyebut berarti kita mengubah pembagian ini menjadi pembagian lain yang sama dengan yang pertama, tetapi tanpa akar kuadrat pada penyebut. Kedua prosedur tersebut berguna dalam praktik.

Akar kuadrat akan digunakan ketika kita membahas Teorema Pythagoras, dan jarak antar titik.

Pangkat dan Akar

Misalkan $n$ adalah bilangan bulat positif dan $a$ adalah bilangan real. Seperti sebelumnya, kita nyatakan

a^n

adalah hasil perkalian $a$ dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali. Aturan

a^{m+n}=a^ma^n

berlaku seperti sebelumnya, jika $m, n$ adalah bilangan bulat positif.

Misalkan $a$ adalah bilangan positif dan $n$ adalah bilangan bulat positif. Sebagai bagian dari sifat-sifat bilangan riil,
kita mengasumsikan, tetapi tidak membuktikan, bahwa ada bilangan riil positif $r$ yang unik sedemikian sehingga

r^n=a

Bilangan r ini disebut akar ke- $n$ dari $a$ , dan dilambangkan dengan

\begin{align*} a^{1/n} && \text{atau} & & \sqrt[n]{a} \end{align*}

Akar pangkat $n$ menggeneralisasi keberadaan dan keunikan akar kuadrat yang dibahas di bagian sebelumnya.

Theorema 1. Misalkan $a, b$ adalah bilangan riil positif. Maka
$(ab)^{1/n}=a^{1/n}b^{1/n}.$

Bukti. Misalkan $r = a^{1/n}$ dan $s = b^{1/n}$ . Ini berarti bahwa $r^n = a$ dan $s^n = b$ . Oleh karena itu

(rs)^n = r^ns^n = ab.

Ini berarti bahwa $rs$ adalah akar ke- $n$ dari $ab$ , dan membuktikan teorema kita.

Akar pangkat $n$ dapat digeneralisasikan lebih lanjut ke pangkat pecahan. Misalkan $a$ adalah bilangan riil positif. Kita akan mengasumsikan tanpa bukti sifat bilangan berikut ini.

Pangkat pecahan. Misalkan $a$ adalah bilangan positif. Untuk setiap bilangan rasional $x$ , kita dapat mengaitkan bilangan positif yang dilambangkan dengan $a^x$ , yang merupakan pangkat ke- $n$ dari $a$ ketika $x$ adalah bilangan bulat positif $n$ , akar ke- $n$ dari $a$ ketika $x = 1/n$ , dan memenuhi kondisi berikut:

POW 1. Untuk semua bilangan rasional $x, y$ kita memiliki

a^{x + y} = a^xa^y

POW 2. Untuk semua bilangan rasional $x, y$ kita memiliki

(a^x)^y = a^{xy}

POW 3. Jika $a, b$ bernilai positif, maka

(ab)^x=a^xb^x

Sekarang kita akan menarik kesimpulan dari kondisi-kondisi ini.

Pertama, kita hitung $a^0$ . Misalkan $b = a^0$ . Kita memiliki:

a = a^1 = a^{0+1} = a^0a^1 = a^0a

Jadi $a = ba$ . Kalikan kedua sisi dengan $a^{-1}$ . Kita peroleh

1=aa^{-1}=baa^{-1}=b

Dengan demikian kita menemukan rumus pentingnya

a^0=1

Selanjutnya kita akan melihat seperti apa pangkat negatif itu. Misalkan $x$ adalah bilangan rasional positif. Maka

1 = a^0 = a^{x+(-x)} = a^xa^{-x}

Dengan demikian, hasil perkalian $a^x$ dan $a^{-x}$ adalah 1. Ini berarti bahwa $a^{-x}$ adalah invers perkalian dari $a^x$ , dan dengan demikian

a^{-x}=\frac{1}{a^x}

Hal ini juga membenarkan notasi kita, yaitu menulis $a^{-1}$ untuk invers perkalian dari $a$ .

Contoh. Misalkan $x = 3$ . Maka

a^{-3}=(a^3)^{-1}=\frac{1}{a^3}

Begitu pula

2{-4}=(2^4)^{-1}=\frac{1}{2^4}

Jadi, secara garis besar, memangkatkan bilangan negatif sama dengan memangkatkan hasil bagi.

Selanjutnya, misalkan $x = m/n$ adalah bilangan rasional positif, yang dinyatakan sebagai hasil bagi bilangan bulat positif $m, n$ . Kemudian dengan POW 2, kita temukan:

a^{m/n}=(a^m)^{1/n}=(a^{1/n})^m

Pangkat pecahan dapat diuraikan menjadi pangkat biasa dengan bilangan bulat dan akar ke- $n$ .

Contoh. Kita memiliki

\begin{align*} 8^{2/3} & = (8^{1/3})^2 \\ & = ((2^3)^{1/3})^2 \\ & = 2^2=4 \end{align*}

Contoh. Kita memiliki

\begin{align*} (\sqrt{2})^{3/4} & = (\sqrt{2^{1/4}})^{3} \\ & = (2^{1/8})^3=2^{3/8} \end{align*}

Contoh. Kita memiliki

\begin{align*} (\sqrt{2})^3 & = \sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{2} \\ & = 2\sqrt{2} = 2^{3/2} \\ \end{align*}

Contoh. Kita memiliki

{\biggl( \frac{25}{9} \biggr)}^{3/2}=\frac{25^{3/2}}{9^{3/2}} = \frac{125}{27}

Kami juga ingin menggunakan pangkat dengan eksponen irasional, yaitu kami ingin mendefinisikan angka-angka seperti

2^{\sqrt2}

Ini jauh lebih sulit, tetapi dapat dilakukan sedemikian rupa sehingga kedua kondisi POW 1 dan POW 2 terpenuhi. Kita tidak akan membutuhkan ini, dan oleh karena itu akan menunda pengembangan sistematis untuk pembahasan yang lebih lanjut, meskipun kita akan memberikan beberapa komentar lebih lanjut tentang situasi ini dalam pembahasan tentang fungsi. Namun, kita perlu memberikan komentar terakhir mengenai bilangan riil, yang dibedakan dari bilangan rasional.

Perhatikan bahwa sifat-sifat penjumlahan, perkalian, dan kepositifan berlaku untuk bilangan rasional. Yang membedakan bilangan riil dari bilangan rasional adalah keberadaan lebih banyak bilangan, seperti akar kuadrat, akar ke- $n$ , eksponen umum, dll. Untuk membuat “dll.” ini lebih tepat adalah dengan upaya yang lebih rumit. Kita dapat bertanya: Apakah ada cara yang rapi (selain menyatakan bahwa bilangan riil terdiri dari semua desimal tak terbatas) untuk menyatakan sifat bilangan riil yang menjamin bahwa setiap bilangan yang ingin kita buktikan keberadaannya secara intuitif dapat dibuktikan hanya dengan menggunakan sifat ini? Jawabannya adalah ya, tetapi termasuk dalam pembahasan yang jauh lebih lanjut. Dengan demikian, sepanjang pembahsan dasar ini, setiap kali kita menginginkan bilangan riil untuk ada sehingga kita dapat melakukan diskusi tertentu, kebijakan kita adalah mengasumsikan keberadaannya dan menunda pembuktiannya ke pembahasan yang lebih lanjut.

Ketidaksetaraan / Inekualitas

Kita ingat bahwa kita menulis

a>0

jika $a$ positif. Jika $a, b$ adalah dua bilangan riil, kita akan menulis

\begin{align*} a>b && \text{dari pada} & & a-b>0 \end{align*}

Kita akan menulis

\begin{align*} a<0 && \text{dari pada} & & -a>0 \end{align*}

dan juga

\begin{align*} b<a && \text{dari pada} & & a>b \end{align*}

Contoh. Kita memiliki $3 > 2$ karena $3 — 2 = 1 > 0$ . Kita memiliki

– 1 > -2

karena

– 1 + 2 = 1 > 0

Dalam representasi geometris angka pada garis, relasi $a > b$ berarti bahwa $a$ terletak di sebelah kanan $b$ . Kita lihat bahwa $-1$ terletak di sebelah kanan $-2$ dalam contoh kita.

Kita akan menulis

a \geq b

artinya $a$ lebih besar dari atau sama dengan $b$ . Jadi

\begin{align*} 3\geq2 && \text{dan} & & 3\geq 3 \end{align*}

keduanya merupakan pertidaksamaan yang benar.

Dengan hanya menggunakan dua sifat kita, POS 1 dan POS 2, kita akan membuktikan aturan untuk menangani ketidaksetaraan. Selanjutnya, kita misalkan $a, b, c$ adalah bilangan real.

IN 1. Jika $a > b$ dan $b > c$ , maka $a > c$ .
IN 2. Jika $a > b$ dan $c > 0$ , maka $ac > bc$ .
IN 3. Jika $a > b$ dan $c < 0$ , maka $ac < bc$ .

Aturan IN 2 menyatakan bahwa suatu pertidaksamaan yang dikalikan dengan bilangan positif akan tetap sama. Aturan IN 3 memberitahu kita bahwa jika kita mengalikan kedua sisi suatu pertidaksamaan dengan bilangan negatif, maka pertidaksamaan tersebut akan terbalik. Misalnya, kita memiliki pertidaksamaan

1<3

Namun $-2$ adalah angka negatif, dan jika kita mengalikan kedua sisi dengan $-2$ kita mendapatkan

-2>-6

Hal ini diwakili secara geometris oleh fakta bahwa $-2$ terletak di sebelah kanan $-6$ pada garis tersebut.

Sekarang mari kita buktikan aturan untuk ketidaksetaraan.

Untuk membuktikan IN 1, misalkan $a > b$ dan $b > c$ . Berdasarkan definisi, ini berarti bahwa

a – b > 0

dan

b – c > 0.

Dengan menggunakan properti POS 1, kita menyimpulkan bahwa

a – b + b – c > 0.

Hapus $b$ memberi kita

a – c > 0,

yang berarti bahwa $a > c$ , seperti yang akan ditunjukkan.

Untuk membuktikan IN 2, misalkan $a > b$ dan $c > 0$ . Berdasarkan definisi,

a – b > 0.

Oleh karena itu, dengan menggunakan POS 1 mengenai hasil perkalian bilangan positif, kita menyimpulkan bahwa

(a – b)c > 0.

Sisi kiri pertidaksamaan ini sama dengan $ac – bc$ berdasarkan sifat distributif. Oleh karena itu

ac – bc > 0,

yang berarti bahwa

ac > bc,

dengan demikian membuktikan IN 2.

Pembuktian IN 3 akan kita serahkan sebagai latihan.

Sifat-sifat lain yang dapat dengan mudah dibuktikan dari tiga sifat dasar tersebut. Sifat-sifat ini akan digunakan terus-menerus tanpa perlu penjelasan lebih lanjut. Secara khusus, kita akan menggunakan beberapa di antaranya dalam contoh-contoh berikutnya.

Contoh. Kita ingin menunjukkan bahwa ketidaksetaraan

2x – 4 > 5

setara dengan ketidaksetaraan tipe $x > a$ atau $x < b$ . Bahkan, ini setara dengan

2x > 5 + 4 = 9,

yang setara dengan

x > \frac{9}{2}

Contoh. Misalkan $x$ adalah sebuah bilangan sedemikian sehingga

\begin{align*} (1) &&&& \frac{3x+5}{x-4} < 2 \end{align*}

Kita ingin menemukan kondisi yang setara di mana hal ini benar, yang dinyatakan dengan ketidaksetaraan yang lebih sederhana seperti $x > a$ atau $x < 6$ . Perhatikan bahwa hasil bagi di sebelah kiri tidak masuk akal jika $x = 4$ . Oleh karena itu, wajar untuk mempertimbangkan kedua kasus tersebut secara terpisah, $x > 4$ dan $x < 4$ . Misalkan $x > 4$ . Maka $x – 4 > 0$ dan karenanya, dalam kasus ini, ketidaksetaraan kita (1) setara dengan

3x + 5 < 2(x – 4) = 2x – 8.

Hal ini pada gilirannya setara dengan

3x – 2x < -8 – 5

atau, dengan kata lain,

x< -13

Namun, dalam kasus dimana $x > 4$ , sehingga $x < -13$ menajdi tidak mungkin. Oleh karena itu, tidak ada bilangan $x > 4$ yang memenuhi persamaan (1).

Sekarang anggap bahwa $x < 4$ . Maka $x — 4 < 0$ dan $x — 4$ adalah negatif. Kita kalikan kedua sisi ketidaksamaan (1) dengan $x — 4$ dan balikkan ketidaksamaan tersebut. Dengan demikian, ketidaksamaan (1) dalam kasus ini setara dengan

\begin{align*} (2) &&&& 3x + 5 > 2(x – 4) = 2x -8. \end{align*}

Selain itu, ketidaksetaraan ini setara dengan

\begin{align*} (3) &&&& 3x – 2x > – 8 – 5 \end{align*}

atau dengan kata lain

\begin{align*} (4) &&&& x > -13 \end{align*}

Namun, dalam kasus kita, $x < 4$ . Jadi dalam kasus ini, kita menemukan bahwa angka-angka $x$ sedemikian sehingga $x < 4$ dan $x > -13$ adalah angka-angka yang memenuhi ketidaksamaan (1). Ini mencapai apa yang ingin kita lakukan. Perhatikan bahwa kedua ketidaksamaan sebelumnya yang berlaku secara bersamaan dapat ditulis dalam bentuk

-1 3 < x < 4.

Himpunan bilangan $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut disebut interval. Bilangan $-13$ dan $4$ disebut titik ujung interval. Kita dapat merepresentasikan interval tersebut seperti pada gambar berikut.

Contoh. Himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $3 < x < 7$ adalah sebuah interval, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Contoh. Himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $3\leq x\leq7$ juga disebut interval. Dalam hal ini, kita memasukkan titik ujungnya, 3 dan 7, ke dalam interval. Kata “interval” berlaku untuk kedua kasus, baik kita memasukkan titik ujungnya atau tidak. Kita merepresentasikan interval dengan titik ujungnya pada gambar berikut.

Secara umum, misalkan $a, b$ adalah bilangan dengan $a \leq b$ . Salah satu dari himpunan bilangan berikut disebut interval.

Himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $a < x < b$ , disebut interval terbuka.
Himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $a \leq x \leq b$ , disebut interval tertutup.
Himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $a \leq x < b$ .
Himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $a < x \leq b$ .
Dua interval terakhir disebut setengah terbuka atau setengah tertutup.

Contoh. Sekali lagi berdasarkan konvensi, biasanya dikatakan bahwa himpunan semua bilangan $x$ sedemikian sehingga $x > 7$ adalah interval tak hingga. Demikian pula, himpunan semua bilangan $x$ sedemikian sehingga $x < -3$ adalah interval tak hingga. Secara umum, jika $a$ adalah bilangan, himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $x > a$ adalah interval tak hingga, dan begitu pula himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $x < a$ . Sekali lagi berdasarkan konvensi, kita mungkin ingin menyertakan titik ujungnya. Misalnya, himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $x \geq 7$ juga disebut interval tak hingga. Himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $x \leq -3$ disebut interval tak hingga. Kami mengilustrasikan beberapa interval ini pada gambar berikutnya.

Referensi

Serge Lang. (1988). Basic mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1027-6

Pintar Matematika

Bilangan Riil atau Bilangan Nyata

Penambahan dan Perkalian

Bilangan Riil: Positivitas

Pangkat dan Akar

Ketidaksetaraan / Inekualitas

Referensi

Comments

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

More posts

Jarak dan Sudut

Logika dan Ekspresi Matematika

Persamaan Kuadrat

Bilangan Riil atau Bilangan Nyata