Jarak

Konsep jarak mungkin merupakan konsep paling mendasar yang berkaitan dengan bidang datar.

Kita akan mengasumsikan sifat-sifat dasar jarak tanpa pembuktian. Kita menyatakan jarak antara titik $P, Q$ di bidang datar dengan $d(P, Q)$. Ini adalah bilangan atau angka yang memenuhi sifat-sifat berikut.

DIST 1. Untuk setiap titik $P, Q$, kita memiliki $d(P, Q) \geq 0$. Selanjutnya,

$d(P, Q) = 0$ jika dan hanya jika $P=Q$

DIST 2. Untuk setiap titik $P, Q$ kita memiliki

DIST 3. Misalkan $P, Q, M$ adalah titik-titik. Maka

Sifat ketiga ini disebut ketidaksamaan segitiga. Alasannya adalah bahwa sifat ini menyatakan fakta geometris bahwa panjang satu sisi segitiga paling banyak sama dengan jumlah panjang kedua sisi lainnya, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 1

Kita mengasumsikan fakta dasar bahwa dua titik berbeda $P, Q$ terletak pada satu dan hanya satu garis, yang dilambangkan dengan $L_{PQ}$. Bagian garis ini yang terletak di antara $P$ dan $Q$ disebut segmen garis antara $P$ dan $Q$, dan dilambangkan dengan $\bar{PQ}$ . Jika satuan pengukuran dipilih, maka panjang segmen ini sama dengan jarak $d(P,Q)$. Garis lurus dan segmen yang ditentukan oleh $P$ dan $Q$ diilustrasikan pada Gambar 2.

Kita akan mengasumsikan dua fakta yang berkaitan dengan ruas garis dengan pengertian jarak. Yang pertama adalah:

SEG 1. Misalkan $P, Q, M$ adalah titik-titik. Kita memiliki

Sifat SEG 1 ini tentu sesuai dengan intuisi kita tentang segmen garis, dan diilustrasikan pada Gambar 3, di mana $Q$ terletak pada segmen $\bar{PM}$.

Fakta kedua yang kita asumsikan adalah:

SEG 2. Misalkan $P, M$ adalah titik-titik pada bidang datar, dan misalkan $d = d(P, M)$. Jika $c$ adalah bilangan sedemikian sehingga $0 \leq c \leq d$, maka terdapat titik unik $Q$ pada segmen $\bar{PM}$ sedemikian sehingga $d(P,Q) = c$.

Sekali lagi, sifat ini sangat sesuai dengan intuisi kita.

Misalkan $r$ adalah bilangan positif, dan $P$ adalah sebuah titik pada bidang datar. Kita mendefinisikan lingkaran dengan pusat $P$ dan jari-jari $r$ sebagai himpunan semua titik $Q$ yang jaraknya dari $P$ adalah $r$. Kita mendefinisikan cakram dengan pusat $P$ dan jari-jari $r$ sebagai himpunan semua titik $Q$ yang jaraknya dari $P$ adalah $r$. Lingkaran dan cakram tersebut digambarkan pada Gambar 4,

Catatan: Di banyak buku, kita akan menemukan bahwa kata “lingkaran” digunakan untuk menunjukkan baik apa yang kita sebut lingkaran maupun cakram. Ini bukan terminologi yang baik dan menyebabkan kebingungan, karena selalu lebih baik jika satu kata tidak digunakan untuk menunjukkan dua objek atau konsep yang berbeda. Secara geometris, kita melihat bahwa lingkaran adalah batas dari cakram.

Catatan. Dalam pembahasan kita sebelumnya, kita telah membuat kesepakatan diam-diam bahwa satuan panjang telah ditetapkan. Misalnya, hanya untuk membicarakan jarak antara dua titik sebagai angka, kita harus sudah menyepakati satuan jarak tersebut. Menginterpretasikan jarak antara $P$ dan $Q$ sebagai panjang segmen antara $P$ dan $Q$ sekali lagi mengasumsikan bahwa satuan pengukuran tersebut telah ditetapkan.

Pernyataan serupa berlaku untuk pembahasan selanjutnya, misalnya mengenai luas. Ketika satuan jarak dipilih, maka satuan tersebut menentukan satuan luas. Misalnya, jika satuan jarak kita adalah cm, maka satuan luasnya adalah cm persegi. Kemudian kita melakukan penyederhanaan bahasa dengan menyebut jarak atau luas sebagai angka. Kita mengatakan bahwa luas persegi dengan sisi $a$ adalah $a^2$. Setelah menetapkan satuan pengukuran sebagai cm, ini berarti bahwa panjang setiap sisi adalah $a$ cm dan luasnya adalah $a^2 \space \text{cm}^2$. Untuk menyederhanakan bahasa, kita sepakat sekali untuk selamanya bahwa satuan pengukuran ditetapkan sepanjang pembahasan kita, dan kemudian menghilangkan satuan tersebut ketika berbicara tentang panjang (jarak) atau luas. Terkadang kita juga berbicara tentang “nilai numerik” dari panjang, atau luas, sehubungan dengan pilihan satuan tersebut, untuk menekankan bahwa kita berurusan dengan angka. Misalnya, nilai numerik dari luas persegi yang luasnya $9 \space \text{cm}^2$ adalah angka $9$.

Sudut

Pembahasan geometri kita didasarkan pada konsep bidang. Kita bersedia mengasumsikan beberapa fakta geometri standar, tetapi demi kenyamanan pembaca, kita telah membuktikan kembali banyak fakta dari yang lebih mendasar. Kita mengasumsikan fakta-fakta berikut tentang garis lurus.

Sinar yang berawal dari $P$ hanyalah setengah garis, yang terdiri dari semua titik pada garis yang melalui $P$ yang terletak di satu sisi $P$. Sinar yang berawal dari $P$ dan melewati titik lain $Q$ akan dilambangkan dengan $R_{PQ}$ . Jika $Q’$ adalah titik lain pada sinar ini, yang berbeda dari $P$, maka tentu saja kita memiliki

Dengan kata lain, sinar ditentukan oleh titik awalnya dan oleh titik lain mana pun yang ada padanya.

Jika sebuah sinar dimulai dari titik $P$, kita juga menyebut $P$ sebagai titik puncak atau vertex dari sinar tersebut.

Perhatikan dua sinar $R_{PQ}$ dan $R_{PM}$ yang berasal dari titik $P$ yang sama. Sinar-sinar ini membagi bidang menjadi dua wilayah, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.

Masing-masing wilayah ini akan disebut sudut yang ditentukan oleh sinar-sinar tersebut. Dengan demikian, sinar $R_{PQ}$ dan $R_{PM}$ menentukan dua sudut.

Catatan tentang terminologi. Ada beberapa perbedaan dalam cara mendefinisikan sudut di buku-buku lain. Misalnya, sudut terkadang didefinisikan sebagai gabungan dua sinar yang memiliki titik sudut yang sama, bukan seperti yang telah kita definisikan. Di sini kita memilih konvensi yang berbeda karena beberapa alasan. Pertama, orang cenderung memikirkan salah satu sisi sinar ketika dua sinar bertemu seperti ini:

Mereka tidak berpikir secara netral. Kedua, dan yang lebih penting, ketika kita ingin mengukur sudut di kemudian hari, dan memberikan angka pada suatu sudut, seperti ketika kita mengatakan bahwa suatu sudut memiliki 30 derajat, atau 270 derajat, mengadopsi definisi sudut sebagai gabungan dua sinar akan memberikan informasi yang tidak cukup untuk tujuan tersebut, dan kita perlu memberikan informasi tambahan untuk menentukan ukuran yang terkait. Dengan demikian, lebih baik untuk memasukkan informasi ini dalam definisi sudut kita. Terakhir, cara menemukan ukuran suatu sudut akan bergantung pada luas, dan oleh karena itu wajar, dimulai dengan definisi kita.

Jika kita hanya menggambar sinar-sinar ini seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8, seperti ini, tanpa indikasi lain, maka kita tidak dapat mengetahui sudut mana yang dimaksud, dan oleh karena itu kita memerlukan notasi tambahan untuk membedakan satu sudut dari sudut lainnya, yang akan kita jelaskan sekarang.

Ingat kembali bahwa jika diberikan sebuah titik $P$ dan sebuah bilangan positif $r$, maka lingkaran dengan jari-jari $r$ dan pusat $P$ adalah kumpulan semua titik yang jaraknya dari $P$ sama dengan $r$.

Setiap busur terletak di dalam salah satu segitiga, dan dengan demikian untuk menggambarkan setiap sudut, cukup dengan menggambar busur yang sesuai. Kedua bagian pada Gambar 10 menunjukkan cara umum kita menggambar dua sudut yang dibentuk oleh sinar-sinar tersebut.

Hanya mengetahui kedua sinar saja tidak cukup untuk dapat membedakan satu sudut dari sudut lainnya. Namun, jika sinar-sinar tersebut diberikan secara berurutan, dengan memilih salah satunya sebagai yang pertama dan yang lainnya sebagai yang kedua, maka kita memiliki cukup informasi untuk menentukan satu sudut tertentu. Hal ini dilakukan sebagai berikut.

Misalkan $R_{PQ}$ adalah sinar pertama dan $R_{PM}$ adalah sinar kedua. Maka salah satu sudut yang ditentukan oleh $R_{PQ}$ dan $R_{PM}$ memuat busur yang membentang dari sinar pertama ke sinar kedua dalam arah berlawanan arah jarum jam. Kita nyatakan sudut tersebut dengan $\angle QPM$. Sudut lainnya memuat busur dari $R_{PM}$ ke $R_{PQ}$ dalam arah berlawanan arah jarum jam, dan oleh karena itu kita nyatakan sudut lainnya ini dengan $\angle MPQ$. Jadi urutan kemunculan $Q, M$ sangat penting dalam notasi ini. Kita representasikan sudut $\angle QPM$ dan $\angle MPQ$dengan menambahkan panah kecil pada busur, untuk menunjukkan arah berlawanan arah jarum jam, seperti pada Gambar 11.

Contoh. Jika $Q, P, M$ terletak pada garis lurus yang sama, dan $Q, M$ terletak pada sinar yang sama yang dimulai dari $P$, maka sudut $\angle QPM$ akan terlihat seperti ini:

Dalam kasus ini, busur lingkaran di antara kedua sinar hanyalah sebuah titik, dan kita mengatakan bahwa sudut $\angle QPM$ adalah sudut nol.

Perhatikan bahwa ketika kita berurusan dengan kasus degenerasi di mana kedua sinar berimpit, salah satu sudutnya adalah sudut nol tetapi sudut lainnya adalah seluruh bidang, dan disebut sudut penuh. Namun, dengan konvensi kita, kita tidak menulis sudut penuh ini dengan notasi $\angle QPM$. Namun, kita mewakilinya dengan panah yang mengelilingi seluruh bidang sebagai berikut:

Contoh. Misalkan $Q, P, M$ terletak pada garis lurus yang sama tetapi $Q$ dan $M$ tidak terletak pada sinar yang sama, yaitu, $Q$ dan $M$ terletak di sisi berlawanan dari $P$ pada garis tersebut. Sudut $\angle QPM$ kita terlihat seperti ini:

Dalam hal ini, kita katakan bahwa sudut $\angle QPM$ adalah sudut lurus. Perhatikan bahwa kita menggambar sudut ZMPQ dengan busur yang berbeda, yaitu:

Jadi dalam kasus ini, $\angle MPQ$ berbeda dengan $\angle QPM$, dan keduanya adalah sudut lurus karena ketiga titik $P, Q, M$ terletak pada garis lurus yang sama.

Diberikan sebuah sudut $A$ dengan titik sudut atau vertex $P$, ​​misalkan $D$ adalah sebuah cakram yang berpusat di $P$. Bagian sudut yang juga terletak di dalam cakram tersebut disebut sektor cakram yang ditentukan oleh sudut tersebut. Gambar:

Bagian yang diarsir mewakili sektor $S$.

Sama seperti kita menggunakan angka untuk mengukur jarak, sekarang kita dapat menggunakannya untuk mengukur sudut, asalkan kita memilih satuan pengukuran terlebih dahulu. Hal ini dapat dilakukan dengan beberapa cara. Di sini kita membahas cara yang paling mendasar (tetapi kita akan kembali lagi ke pertanyaan ini nanti, dan membahas satuan lain, yang ternyata lebih nyaman dalam sebagian besar matematika).

Satuan pengukuran yang kita pilih di sini adalah derajat, sedemikian rupa sehingga sudut penuhnya memiliki 360 derajat. Misalkan $A$ adalah sudut yang berpusat di $P$ dan misalkan $S$ adalah sektor yang ditentukan oleh $A$ pada cakram $D$ yang berpusat di $P$. Misalkan $x$ adalah bilangan antara $0$ dan $360$. Kita akan mengatakan bahwa

$A$ memiliki $x$ derajat

artinya bahwa

sehingga

Dalam menghitung jumlah derajat suatu sudut, kita tidak perlu menentukan luas $S$ atau bahkan luas $D$, hanya perbandingan antara keduanya. Sekarang kita akan memberikan contoh.

Contoh. Sudut lurus memiliki besar 180 derajat karena membagi cakram menjadi dua sektor dengan luas yang sama, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 17.

Contoh. Sudut yang ukurannya setengah dari sudut lurus disebut sudut siku-siku, dan memiliki besar 90 derajat, seperti pada Gambar 18.

Contoh. Pada Gambar 19, kita telah menggambar sektor yang ditentukan oleh sudut 45 derajat dan 30 derajat. Yang memiliki sudut 30 derajat memiliki sepertiga ukuran sudut siku-siku. Pada gambar sudut 45 derajat, kita telah menggambar garis putus-putus untuk menunjukkan sudut 90 derajat. Pada gambar sudut 30 derajat, kita telah menggambar dua garis putus-putus untuk menunjukkan sudut 90 derajat dan 60 derajat, masing-masing, menunjukkan bagaimana sudut 90 derajat terbagi menjadi tiga bagian yang memiliki ukuran yang sama.

Contoh. Pada Gambar 19 (c) kita telah menggambar sektor yang terletak di antara sudut 30° dan 45°, dan di dalam lingkaran dengan jari-jari 2.

Kita dapat menghitung luas sektor ini menggunakan definisi derajat. Mari kita asumsikan bahwa luas cakram dengan jari-jari $r$ adalah $\pi r^2$, di mana $\pi$ kira-kira sama dengan 3,14159 . . . . (desimal untuk $\pi$ dapat ditentukan seakurat yang kita inginkan, tetapi kita tidak membahasnya di sini.) Oleh karena itu, luas cakram dengan jari-jari 2 sama dengan $4\pi$. Sektor $S$ pada Gambar 19 memiliki 15° (karena 15 = 45 — 30), dan karenanya

Ini adalah nilai numerik dari luas tersebut, dalam satuan apa pun yang kita gunakan. Anda dapat mengubah jawaban ini ke bentuk desimal, menggunakan tabel perkalian $\pi$, dan komputer, tetapi kami lebih suka membiarkannya sebagai $\pi /6$.

Demikian pula, luas sektor yang terletak di antara sudut 30° dan 45°, dan di dalam lingkaran dengan jari-jari 5, diberikan oleh

Kita akan menyingkat “derajat” menjadi deg, dan juga menggunakan lingkaran kecil di atas angka untuk menunjukkan derajat. Dengan demikian kita menulis

atau secara lebih umum dengan angka $x$ apa pun antara 0 dan 360, kita tulis

Besar sudut $A$ akan dilambangkan dengan $m(A)$. Untuk saat ini kita akan membahas besar sudut dalam derajat. Jadi, mengatakan bahwa sudut $A$ memiliki besar 50° berarti sama dengan

Catatan yang ditujukan kepada mereka yang suka mengajukan pertanyaan. Dalam mendefinisikan jumlah derajat suatu sudut, kita menggunakan cakram $D$. Kita tidak menentukan jari-jarinya. Seharusnya secara intuitif jelas bahwa ketika kita mengubah cakram, dan karenanya sektor pada saat yang sama, rasio luasnya tetap sama. Kita akan mengasumsikan ini untuk sekarang, dan kembali ke pembahasan yang lebih menyeluruh tentang pertanyaan ini nanti ketika kita membahas luas, dan bangun serupa.

Lebih mudah untuk menulis pertidaksamaan antara sudut. Misalkan $A$ dan $B$ adalah sudut. Anggaplah $A$ memiliki $x$ derajat dan $B$ memiliki $y$ derajat, di mana $x, y$ adalah bilangan yang memenuhi

dan

Kita dapat mengatakan bahwa $A$ lebih kecil dari atau sama dengan $B$ jika $x \leq y$. Misalnya, sudut 37° lebih kecil dari sudut 52°.

Teorema Pythagoras

Misalkan $P, Q, M$ adalah tiga titik di bidang datar, yang tidak terletak pada garis yang sama. Titik-titik ini menentukan tiga ruas garis, yaitu

Catatan tentang terminologi. Di sini kita mengadopsi konvensi yang tampaknya paling umum. Namun, ada beberapa ambiguitas yang meluas tentang gagasan segitiga, mirip dengan ambiguitas yang telah kita sebutkan tentang “lingkaran”. Kata “segitiga” juga digunakan untuk menunjukkan wilayah yang dibatasi oleh tiga segmen garis. Tidak ada kata yang tepat seperti “cakram” yang dapat saya pikirkan di sini untuk berfungsi dalam kapasitas yang serupa. Tidak ada yang akan menerima “trisc”. (para matematikawan senang memikirkan kata-kata seperti itu.) “Wilayah segitiga” adalah ungkapan yang tampaknya paling alami untuk digunakan. Ada kata matematika, “simplex”, yang digunakan untuk wilayah segitiga dan analognya dalam dimensi yang lebih tinggi (piramida, tetrahedron, dll.). Untuk pembahasan di sini, kita akan puas dengan “segitiga” seperti yang telah kita definisikan. Di sisi lain, kita akan melakukan sedikit penyalahgunaan bahasa, dan berbicara tentang “luas segitiga”, padahal yang kita maksud adalah “luas wilayah segitiga yang dibatasi oleh segitiga”. Ini adalah penggunaan saat ini, dan meskipun sedikit tidak tepat, hal ini sebenarnya tidak menimbulkan kesalahpahaman serius.

Setiap pasang sisi segitiga menentukan sebuah sudut. Kita akan mengatakan bahwa sebuah segitiga adalah segitiga siku-siku jika salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku. Sisi-sisi segitiga yang menentukan sudut ini kemudian disebut kaki-kaki segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku tampak seperti ini. (Gambar 22.)

Sisi-sisi tegak dari segitiga siku-siku pada Gambar 22 adalah sisi $\bar{PQ}$ dan $\bar{PM}$.

Dalam pengembangan geometri, kita mengadopsi sikap berikut. Kita menganggap beberapa sifat dasar tentang garis (yang telah disebutkan sebelumnya), tegak lurus, dan bangun-bangun seperti segitiga siku-siku dan persegi panjang yang ciri utamanya berkaitan dengan tegak lurus sebagai hal yang sudah pasti. Hal-hal ini akan dinyatakan sejelas mungkin, agar situasi ini memuaskan secara psikologis. Kemudian kita membuktikan sifat-sifat tentang bangun-bangun geometris lainnya berdasarkan hal-hal tersebut.

Pada bagian selanjutnya, kita akan menunjukkan bagaimana materi dasar tersebut dapat dipahami lebih lanjut (misalnya melalui pembahasan kita tentang kekongruenan, dan melalui koordinat).

Salah satu fakta mendasar yang kita anggap sudah pasti tentang segitiga siku-siku adalah:

RT. Jika dua segitiga siku-siku $\triangle PQM$ dan $\triangle P’Q’M’$ masing-masing mempunyai sisi-sisi kaki $\bar{PQ}$, $\bar{PM}$ dan $\bar{P’Q’}$, $\bar{P’M’}$ yang sama panjangnya, yaitu

panjang $\bar{PQ} =$panjang $\bar{P’Q’}$
panjang $\bar{PM} =$panjang $\bar{P’M’}$

maka: (a) sudut-sudut yang bersesuaian pada segitiga-segitiga tersebut memiliki ukuran yang sama, (b) luasnya sama, dan (c) panjang $\bar{QM}$ sama dengan panjang $\bar{Q’M’}$.

Gambar di bawah mengilustrasikan segitiga di atas yang disebut pada aksioma RT.

Sebagian dari Anda mungkin sudah mengetahui tentang konsep kekongruenan, dan jika demikian, Anda akan segera menyadari bahwa di bawah hipotesis RT, kedua segitiga tersebut kongruen. Secara kasar, ini berarti Anda dapat “memindahkan” satu segitiga ke atas segitiga lainnya sehingga sisi-sisi yang bersesuaian saling tumpang tindih. Nanti kita akan membahas konsep kekongruenan secara formal, dan mengembangkan teorinya secara sistematis. Pada titik ini, kita hanya berfokus pada satu teorema dasar, yaitu teorema Pythagoras, dan kita tidak ingin membebani diri kita dengan teori yang lebih panjang hanya untuk sampai ke sana, terutama karena aksioma RT kita secara psikologis sangat memuaskan. Kita telah meringkas dalam RT apa yang kita butuhkan untuk tujuan kita saat ini.

Kita akan melihat bagaimana beberapa sifat segitiga dapat direduksi menjadi sifat-sifat persegi panjang.

Sebelum mendefinisikan persegi panjang, kita sebutkan secara eksplisit sebuah sifat yang berkaitan dengan garis sejajar dan jarak. Misalkan $L, L’$ adalah garis sejajar, dan misalkan $P, Q$ adalah titik-titik pada $L$. Misalkan $K_P$ adalah garis tegak lurus terhadap $L$ yang melewati $P$, dan misalkan $P’$ adalah perpotongan $K_P$ dengan $L’$. Demikian pula, misalkan $K_Q$ adalah garis yang melalui $Q$ tegak lurus terhadap $L$, dan misalkan $Q’$ adalah perpotongan $K_Q$ dengan $L’$. Kita akan mengasumsikan:

PD. Panjang segmen $\bar{PP’ }$dan $\bar{QQ’}$sama. Dengan kata lain,

Hal ini diilustrasikan oleh Gambar 24(a). Kita dapat menyebut panjang ini sebagai jarak antara kedua garis.

Misalkan sekarang $P, Q, M, N$ adalah empat titik, sedemikian sehingga segmen $\bar{PQ}$, $\bar{QN}$, $\bar{NM}$, dan $\bar{MP}$ membentuk bangun segi empat. Misalkan sisi-sisi yang berlawanan $\bar{PQ}$, $\bar{NM}$ sejajar, dan juga sisi-sisi yang berlawanan $\bar{QN}$, $\bar{MP}$ sejajar; misalkan juga sisi-sisi yang bersebelahan tegak lurus, yaitu: $\bar{PQ}$, $\bar{QN}$ tegak lurus dan $\bar{NM}$, $\bar{MP}$ tegak lurus. Maka kita akan menyebut himpunan yang terdiri dari empat segmen tersebut sebagai

Persegi panjang yang ditentukan oleh $P, Q, N, M$. Persegi panjang ini diilustrasikan pada Gambar 24 (b). Perhatikan bahwa menurut sifat PD kita, maka sisi-sisi yang berlawanan dari persegi panjang tersebut memiliki panjang yang sama.

Jika $a, b$ adalah panjang sisi-sisi persegi panjang, maka kita mengasumsikan bahwa luas persegi panjang sama dengan $ab$. (Catatan: Di sini kita melakukan kesalahan penggunaan bahasa yang sama dengan berbicara tentang luas persegi panjang seperti yang kita lakukan dengan segitiga. Yang kita maksud, tentu saja, adalah luas daerah yang dibatasi oleh persegi panjang.) Seperti biasa, persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya memiliki panjang yang sama. Jika panjang ini sama dengan $a$, maka luas persegi adalah $a^2$.

Kita tertarik pada luas segitiga siku-siku. Perhatikan segitiga siku-siku $\triangle QPM$ sedemikian sehingga $\angle MPQ$ adalah sudut siku-sikunya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 25. Maka segmen $\bar{PQ}$ dan $\bar{PM}$ saling tegak lurus. Kita misalkan $N$ adalah titik perpotongan garis yang melalui $M$ sejajar dengan $\bar{PQ}$, dan garis yang melalui $Q$ tegak lurus terhadap $\bar{PQ}$. Maka $N$ adalah sudut keempat dari persegi panjang yang tiga sudut lainnya adalah $Q, P, M$. Maka sisi $\bar{QN}$ dan $\bar{PM}$ memiliki panjang yang sama. Sisi $\bar{QP}$ dan $\bar{NM}$ memiliki panjang yang sama.

Misalkan $A, B$ adalah sudut-sudut segitiga siku-siku, selain sudutsiku-siku, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 25. Dari RT, dapat disimpulkan bahwa $\angle NQM$ memiliki ukuran yang sama dengan $B$. Karena $\angle NQP$ adalah sudut siku-siku, dan karena $A$ dan $\angle NQM$ bersama-sama membentuk sudut siku-siku $\angle NQP$, maka dapat disimpulkan bahwa:

Teorema 1. Jika $A$ dan $B$ adalah sudut-sudut segitiga siku-siku selain sudut siku-siku, maka

Misalkan $a, b$ adalah panjang sisi-sisi persegi panjang. Maka $a, b$ juga merupakan panjang sisi-sisi tegak segitiga siku-siku $\triangle MPQ$. Kita mengasumsikan bahwa luas persegi panjang sama dengan $ab$. Sekali lagi dengan menggunakan RT, kita menyimpulkan bahwa kedua segitiga $\triangle QPM$ dan $\triangle QNM$ yang membentuk persegi panjang ini memiliki luas yang sama.

Oleh karena itu, kita menemukan:

Teorema 2. Luas segitiga siku-siku yang panjang kedua sisinya adalah $a,b$, adalah sama dengan

Sisi ketiga dari segitiga siku-siku, yang bukan salah satu kaki penyangga, disebut hipotenusa. Teorema selanjutnya memberi kita hubungan antara panjang hipotenusa dan panjang kedua sisi lainnya.

Teorema Pythagoras. Misalkan $a, b$ adalah panjang kedua sisi tegak dari sebuah segitiga siku-siku, dan misalkan $c$ adalah panjang hipotenusanya. Maka

Bukti. Mari kita gambar segitiga siku-siku dengan sisi tegak sepanjang $a$ secara horizontal seperti yang ditunjukkan pada Gambar 26. Misalkan segitiga tersebut adalah $\triangle PQM$, dengan sudut siku-siku di $P$, seperti yang ditunjukkan. Misalkan $P_1$ adalah titik pada garis yang melalui $P, M$ pada jarak $b$ dari $M$

dan berjarak $a + b$ dari $P$. Kita menggambar segmen $\bar{P_1P_2}$, tegak lurus terhadap $\bar{PP_1}$, pada sisi $\bar{PP_1}$ yang sama dengan segitiga, dan dengan panjang $a + b$. Kemudian kita menggambar dua sisi lain dari persegi yang sisinya memiliki panjang $a + b$, seperti yang ditunjukkan. Titik $P_1$ adalah titik sudut atau verteks siku-siku, dan kita dapat membentuk segitiga siku-siku yang salah satu kakinya adalah segmen $\bar{MP_1}$, dengan panjang $b$, dan kaki lainnya adalah segmen vertikal $\bar{P_1M_1}$ dengan panjang $a$. Kita sekarang dapat mengulangi konstruksi ini, membentuk segitiga siku-siku ketiga $\triangle M_1P_2M_2$, dan kemudian segitiga siku-siku keempat $\triangle M_2P_3Q$. Masing-masing segitiga siku-siku ini memiliki kaki dengan panjang $a$ dan $b$, berturut-turut. Akibatnya, dengan RT, sisi-sisi dari bangun segi empat di dalam persegi besar memiliki panjang yang sama, sama dengan $c$. Misalkan $A, B$ adalah sudut-sudut segitiga siku-siku kita selain sudut siku-siku. Misalkan $C$ adalah salah satu sudut dari bangun segi empat, misalnya $\triangle M_1MQ$. Berdasarkan RT kita tahu bahwa $\triangle M_1MP_1$ memiliki ukuran yang sama dengan $A$, dan oleh karena itu

Namun berdasarkan Teorema 1,

sehingga $m(C) = 90^{\circ}$. Oleh karena itu, bangun segi empat di dalam persegi besar adalah persegi, yang panjang sisinya adalah $c$.

Sekarang kita akan menghitung luas. Luas persegi besar adalah

Luas ini sama dengan jumlah luas keempat segitiga, dan luas persegi yang sisi-sisinya memiliki panjang $c$. Dengan demikian, luas ini juga sama dengan

Ini menghasilkan

sehingga

dan teorema tersebut terbukti.

Contoh. Panjang diagonal persegi yang sisi-sisinya memiliki panjang 1, seperti pada Gambar 27(a), adalah sama dengan

Panjang diagonal persegi panjang yang sisi-sisinya memiliki panjang 3 dan 4, seperti pada Gambar 27(b), adalah sama dengan

Contoh. Salah satu sisi tegak segitiga siku-siku memiliki panjang 10 cm, dan sisi miringnya memiliki panjang 15 cm. Berapakah panjang sisi tegak yang lainnya?

Ini mudah dilakukan. Misalkan $b$ adalah panjangnya. Kemudian dengan teorema Pythagoras, kita peroleh

sehingga

Dengan demikian, $b^2=\sqrt{125}$

Misalkan $P, Q$ adalah titik-titik berbeda pada bidang datar. Kita ingat bahwa garis bagi tegak lurus dari segmen $\bar{PQ}$ adalah garis yang tegak lurus terhadap $\bar{PQ}$ yang melewati titik yang terletak pada $\bar{PQ}$, di tengah-tengah antara $P$ dan $Q$. Perhatikan bahwa jika $O$ adalah sembarang titik pada garis yang melewati $P$ dan $Q$ sedemikian sehingga

Maka $O$ pasti terletak pada segmen antara $P$ dan $Q$. Bukti: Jika tidak demikian, maka $P$ akan terletak pada segmen $\bar{OQ}$ atau $Q$ akan terletak pada segmen $\bar{OP}$ (gambar diagramnya). Misalkan $P$ terletak pada segmen $\bar{OQ}$. Maka

dari situ $d(P, Q) = 0$ dan $P = Q$, bertentangan dengan asumsi kita bahwa $P$ dan $Q$ berbeda. Kasus ketika $Q$ mungkin berada pada segmen $\bar{OP}$ dibuktikan dengan cara yang serupa.

Hasil selanjutnya merupakan konsekuensi penting dari teorema Pythagoras.

Akibat. Misalkan $P, Q$ adalah titik-titik berbeda di bidang datar. Misalkan $M$ juga merupakan titik di bidang datar. Maka kita memiliki

jika dan hanya jika $M$ terletak pada garis bagi tegak lurus $\bar{PQ}$.

Bukti. Misalkan $L$ adalah garis yang melalui $P, Q$ dan misalkan $K$ adalah garis tegak lurus terhadap $L$ yang melalui $M$. Misalkan $O$ adalah titik perpotongan $K$ dan $L$. Pada Gambar 28(a), kita menunjukkan kasus ketika $K$ adalah garis bagi tegak lurus $\bar{PQ}$, dan pada Gambar 28(b) kita menunjukkan kasus ketika bukan.

Pertama-tama, anggaplah $d(P, M) = d(Q, M)$. Dengan teorema Pythagoras, kita memiliki

Oleh karena itu,

dari situ $d(P, O) = d(Q, O)$, dan $M$ terletak pada garis bagi tegak lurus $\bar{PQ}$.

Sebaliknya, anggaplah bahwa $d(P, O) = d(Q, O)$. Langkah-langkah serupa menunjukkan bahwa

dengan demikian membuktikan kesimpulan kita.

Latihan

Latihan 1

Buktikan bahwa jika $A, B, C$ adalah sudut-sudut dari suatu segitiga sembarang, maka

dengan metode berikut: Dari sembarang titik sudut, gambarlah garis tegak lurus ke garis sisi yang berlawanan. Kemudian gunakan hasil yang sudah diketahui untuk segitiga siku-siku. Bedakan kedua gambar pada Gambar 29.

Jawaban:

Pada kasus ini, gambarnya adalah sebagai berikut.

Segitiga $\triangle PQN$ dan $\triangle PNM$ adalah segitiga siku-siku, dan karenanya $m(A_1) + m(B) = 90°$, $m(A_2) + m(C) = 90°$. Dengan menjumlahkannya, kita peroleh $m(A_1) + m(A_2) + m(B) + m(C) = 180°$. Tetapi $m(A) = m(A_1) + m(A_2)$ sehingga kita telah membuktikan pernyataan di atas.

Pada kasus kedua, gambaran situasinya adalah sebagai berikut.

Maka $\triangle PQN$ adalah segitiga siku-siku, dan begitu pula $\triangle PNM$, dengan sudut siku-siku di $N$. Maka $(*) m(A_1) + m(B) = 90°,$ $m(A_2) + m(C’) = 90°$, di mana $C’$adalah sudut pelengkap untuk $C$, yaitu $m(C) + m(C’) = 180°$, sehingga $m(C) = 180° — m(C’)$. Mengurangi ekspresi dalam (*), kita peroleh $m(A_1) – m(A_2) + m(B) – m(C’) = 0°$. Tetapi $m(A) = m(A_1) – m(A_2)$. Mengganti nilai untuk $m(C’)$, kita peroleh $m(A) + m(B) + m(C) = 180°$.

Referensi

Serge Lang. (1988). Basic mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1027-6