Koordinat dan geometri saling terhubung melalui geometri analitik (atau geometri koordinat), yang memungkinkan kita untuk menerjemahkan bentuk-bentuk visual geometri ke dalam bahasa aljabar menggunakan sistem koordinat seperti Cartesius. Keduanya saling berkaitan melalui pemetaan posisi, visualisasi persamaan, perhitungan kuantitatif, dan pembuktian teorema.

Sistem Koordinat

Setelah panjang satuan dipilih, kita dapat merepresentasikan angka sebagai titik-titik pada sebuah garis. Sekarang kita akan memperluas prosedur ini ke bidang datar, dan ke pasangan angka. Pada Gambar 1, kita memvisualisasikan garis horizontal dan garis vertikal yang berpotongan di titik $O$, yang disebut titik asal.

Garis-garis ini akan disebut sumbu koordinat atau sumbu.

Kita memilih panjang satuan dan memotong garis horizontal menjadi segmen-segmen dengan panjang $1, 2, 3, \ldots$ ke kiri dan ke kanan. Kita melakukan hal yang sama pada garis vertikal, tetapi ke atas dan ke bawah, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.

Pada garis vertikal, kita memvisualisasikan titik-titik di bawah $O$ sebagai bilangan bulat negatif, sama seperti kita memvisualisasikan titik-titik di sebelah kiri garis horizontal sebagai bilangan bulat negatif. Kita mengikuti ide yang sama seperti yang digunakan dalam memberi nilai pada termometer, di mana angka di bawah nol dianggap negatif.

Sekarang kita dapat membagi bidang menjadi persegi yang sisi-sisinya memiliki panjang 1.

Kita dapat menggambarkan setiap titik perpotongan dua garis dengan sepasang bilangan bulat. Misalkan kita diberikan sepasang bilangan bulat, seperti $(1, 2)$. Kita bergerak $1$ satuan ke kanan dari titik asal dan naik $2$ satuan secara vertikal untuk mendapatkan titik $(1, 2)$ yang telah ditunjukkan pada Gambar 3. Kita juga telah menunjukkan titik $(3, 4)$. Diagram ini seperti peta.

Selain itu, kita juga dapat menggunakan bilangan negatif. Misalnya, untuk menggambarkan titik $( – 3, -2)$, kita bergerak $3$ satuan ke kiri dari titik asal dan $2$ satuan secara vertikal ke bawah.

Sebenarnya tidak ada alasan mengapa kita harus membatasi diri pada titik-titik yang digambarkan oleh bilangan bulat. Misalnya, kita juga dapat menggambarkan titik $(\frac{1}{2}, -1)$ dan titik $( – \sqrt2, 3)$ seperti pada Gambar 4.

Secara umum, jika kita mengambil sembarang titik $P$ pada bidang dan menggambar garis tegak lurus terhadap sumbu horizontal dan sumbu vertikal, kita akan memperoleh dua angka $x, y$ seperti pada Gambar 5.

Kemudian kita katakan bahwa angka $x, y$ adalah koordinat titik $P$, dan kita tulis

Sebaliknya, setiap pasangan angka $x, y$ menentukan sebuah titik pada bidang. Jika $x$ positif, maka titik ini terletak di sebelah kanan sumbu vertikal. Jika $x$ negatif, maka titik ini terletak di sebelah kiri sumbu vertikal. Jika $y$ positif, maka titik ini terletak di atas sumbu horizontal. Jika y negatif, maka titik ini terletak di bawah sumbu horizontal.

Koordinat titik asal adalah

Kita biasanya menyebut sumbu horizontal sebagai sumbu $x$, dan sumbu vertikal sebagai sumbu $y$ (pengecualian akan selalu dicatat secara eksplisit). Jadi jika

Kemudian kita katakan bahwa $5$ adalah koordinat $x$ dan $-10$ adalah koordinat $y$. Tentu saja, jika kita tidak ingin menetapkan penggunaan $x$ dan $y$, maka kita katakan bahwa $5$ adalah koordinat pertama, dan $-10$ adalah koordinat kedua. Yang penting di sini adalah urutan koordinat, sehingga kita dapat membedakan antara koordinat pertama dan kedua.

Kita dapat, dan terkadang memang, menggunakan huruf lain selain $x$ dan $y$ untuk koordinat, misalnya $t$ dan $s$, atau $u$ dan $v$.

Kedua sumbu kita membagi bidang menjadi empat kuadran, yang diberi nomor seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.

Suatu titik $(x, y)$ terletak di kuadran pertama jika dan hanya jika $x$ dan $y$ keduanya $> 0$. Suatu titik $(x, y)$ terletak di kuadran keempat jika dan hanya jika $x > 0$, tetapi $y < 0$.

Terakhir, kami mencatat bahwa kami menempatkan koordinat kami secara horizontal dan vertikal untuk kenyamanan. Kita juga dapat menempatkan koordinat secara miring, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.

Catatan. Sepanjang artikel ini, ketika kita memilih sistem koordinat, arah positif sumbu kedua akan selalu ditentukan dengan memutar arah positif sumbu pertama berlawanan arah jarum jam melalui sudut siku-siku.

Latihan Besar

Untuk diterapkan dalam bagian ini dan dua bagian berikutnya: Mendefinisikan sebuah titik dalam ruang 3 dimensi sebagai tiga bilangan

Cobalah untuk merumuskan hasil yang sama dalam kasus 3 dimensi ini seperti yang telah kita lakukan dalam buku untuk kasus 2 dimensi. Secara khusus, definisikan jarak, definisikan penjumlahan titik, dilatasi, translasi, garis lurus dalam ruang 3 dimensi, semuanya. Tulis semuanya seolah-olah kita sedang menulis buku. Ini akan membuat kita benar-benar mempelajari subjek tersebut. Tunjukkan kesamaan dengan kasus 2 dimensi, dan tunjukkan perbedaannya jika ada. Kita akan menemukan hampir tidak ada perbedaan! Untuk memberi kita beberapa panduan, akan sering menyatakan secara eksplisit apa yang harus kita lakukan.

Jadi untuk memulai, kami menggambarkan pada Gambar 8 sebuah sistem sumbu koordinat tegak lurus dalam ruang 3 dimensi dengan cara yang cukup mirip dengan ruang 2 dimensi.

Dengan demikian, sebuah titik dalam ruang 3 dimensi diwakili oleh tiga angka, dan dari sudut pandang analitik, kita mendefinisikan titik tersebut sebagai rangkap tiga angka $(x, y, z)$. Misalnya, $(1, -2, 7)$ adalah sebuah titik dalam ruang 3 dimensi. Kita menyatakan ruang 3 dimensi dengan $R^3$.

Jarak Antar Titik

Pertama-tama, mari kita perhatikan jarak antara dua titik pada sebuah garis. Misalnya, jarak antara titik $1$ dan $4$ pada garis tersebut adalah $4 – 1 = 3$.

Perhatikan bahwa jika kita mengambil selisih antara 1 dan 4 ke arah sebaliknya, yaitu $1 – 4$, maka kita menemukan $-3$, yang merupakan nilai negatif. Namun, jika kemudian kita mengkuadratkannya, kita menemukan angka yang sama, yaitu

Oleh karena itu, ketika kita mengambil kuadratnya, urutan pengambilan selisihnya tidak menjadi masalah.

Contoh. Carilah kuadrat jarak antara titik $-2$ dan $-3$ pada garis tersebut.

Kuadrat dari jarak ini adalah

atau menghitung dari arah lain,

Perhatikan bahwa sekali lagi kita mengambil selisih antara koordinat titik-titik tersebut, dan kita dapat menangani titik-titik yang memiliki koordinat negatif. Jika kita menginginkan jaraknya, bukan kuadratnya, maka kita ambil akar kuadratnya, dan kita temukan

Karena konvensi universal kita bahwa akar kuadrat dari bilangan positif dianggap positif, kita dapat menyatakan rumus umum untuk jarak antara titik-titik pada garis sebagai berikut.

Selanjutnya kita akan membahas jarak antar titik pada bidang datar, dengan sistem koordinat yang diberikan, yang kita gambar secara horizontal dan vertikal untuk memudahkan. Kita akan mengingat kembali teorema Pythagoras dari geometri bidang datar.

Contoh. Misalkan $(1, 2)$ dan $(3, 5)$ adalah dua titik pada bidang datar. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita ingin mencari jarak antara keduanya. Pertama, kita gambar segitiga siku-siku yang diperoleh dari kedua titik ini, seperti pada Gambar 12.

Kita melihat bahwa kuadrat panjang satu sisi sama dengan

Kuadrat dari panjang sisi lainnya adalah

Berdasarkan teorema Pythagoras, kita dapat menyimpulkan bahwa kuadrat panjang antara kedua titik tersebut adalah $4 + 9 = 13$. Oleh karena itu, jaraknya sendiri adalah $\sqrt{13}$.

Secara umum, misalkan $(x_1,y_1)$ dan $(x_2 ,y_2)$ adalah dua titik pada bidang. Kita dapat kembali membentuk segitiga siku-siku, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 13.

Kuadrat sisi bawah adalah $(x_2 – x_1)^2$, yang juga sama dengan $(x_2 – x_1)^2$. Kuadrat sisi vertikal adalah $(y_2 – y_1)^2$, yang juga sama dengan $(y_1 – y_2)^2$. Jika $d$ menyatakan jarak antara kedua titik, maka

Oleh karena itu, kita mendapatkan rumus untuk jarak antara titik-titik tersebut, yaitu

Contoh. Misalkan kedua titik tersebut adalah $(1, 2)$ dan $(1, 3)$. Maka jarak antara kedua titik tersebut adalah

Contoh. Carilah jarak antara titik $( -1,5)$ dan $(4, -3)$. Jarak ini sama dengan

Contoh. Carilah jarak antara titik $(2, 4)$ dan $(1, -1)$. Kuadrat jarak tersebut sama dengan

Oleh karena itu, jaraknya sama dengan $\sqrt{26}$.

Peringatan: Selalu berhati-hatilah saat kita menemukan tanda minus. Letakkan tanda kurung dengan benar dan ingat aturan aljabar.

Sebagaimana mestinya, kita dapat menghitung jarak antara titik-titik dalam urutan apa pun. Pada contoh terakhir, kuadrat jaraknya sama dengan

Jika kita misalkan $d(P,Q)$ menyatakan jarak antara titik $P$ dan $Q$, maka pernyataan terakhir kita juga dapat diungkapkan dengan mengatakan bahwa

Kita memiliki program umum untuk memberikan dasar-dasar geometri dengan hanya mengasumsikan sifat-sifat bilangan. Sejalan dengan program ini, kita harus memperjelas apa yang kita anggap sebagai definisi. Aturan mainnya adalah hanya sifat-sifat bilangan yang dapat diasumsikan sebagai diketahui.

Oleh karena itu, kita mendefinisikan bidang sebagai himpunan semua pasangan $(x, y)$ bilangan real. Kita menunjuk bidang tersebut dengan $R^2$.

Jika $X = (x_1, x_2)$ dan $Y = (y_1, y_2)$ adalah dua titik pada bidang, maka kita mendefinisikan jarak antara keduanya sebagai

Dengan demikian, kita melihat bahwa kita telah mendefinisikan objek geometris hanya menggunakan angka.

Untuk bidang tiga dimensi, misalkan

Maka jarang antara dua titik tersebut,

Ini menggeneralisasi teorema Pythagoras. Gambarlah sebuah gambar. Gambarlah segmen antara titik asal $O = (0, 0, 0)$ dan titik $X = (x, y, z)$. Tuliskan rumus sederhana untuk jarak antara $(0, 0, 0)$ dan $(x, y, z)$. Gambarlah segitiga siku-siku, yang menunjukkan bahwa secara geometris, rumus kita untuk jarak antara $O$ dan $X$ dalam ruang 3 dimensi dapat dibenarkan dalam hal penerapan berulang teorema Pythagoras biasa pada bidang horizontal dan bidang vertikal.

LATIHAN

Misalkan $A = (a_1, a_2)$ dan $B = (b_1, b_2)$. Misalkan $r$ adalah bilangan positif. Tuliskan rumus untuk $d(A, B)$. Definisikan dilatasi $rA$ sebagai

Misalnya, jika $A = (- 3, 5)$ dan $r = 7$, maka $rA = (- 21, 35)$. Jika $B = (4, -3)$ dan $r = 8$, maka $rB = (32, -24)$. Buktikan secara umum bahwa

Jawab:

Maka $d (rA, rB) = r \space d (A,B)$

Persamaan Suatu Lingkaran

Misalkan $P$ adalah titik yang diberikan dan $r$ adalah bilangan $> 0$. Lingkaran dengan jari-jari $r$ yang berpusat di $P$, menurut definisi, adalah himpunan semua titik yang jaraknya dari $P$ sama dengan $r$. Sekarang kita dapat menyatakan kondisi ini dalam bentuk koordinat.

Contoh. Misalkan $P = (1, 4)$ dan $r = 3$. Suatu titik yang koordinatnya $(x, y)$ terletak pada lingkaran berjari-jari $3$ yang berpusat di $(1, 4)$ jika dan hanya jika jarak antara $(x, y)$ dan $(1, 4)$ adalah $3$. Kondisi ini dapat ditulis sebagai

Hubungan ini disebut persamaan lingkaran dengan pusat $(1, 4)$ dan jari-jari $3$. Perhatikan bahwa kedua sisi bernilai positif. Dengan demikian, persamaan ini berlaku jika dan hanya jika

Memang, jika (1) benar, maka (2) benar karena kita dapat mengkuadratkan setiap sisi (1) dan memperoleh (2). Di sisi lain, jika (2) benar dan kita mengambil akar kuadrat dari setiap sisi, kita memperoleh (1), karena angka-angka di setiap sisi (1) adalah positif. Seringkali lebih mudah untuk membiarkan persamaan lingkaran dalam bentuk (2), untuk menghindari penulisan tanda akar kuadrat yang rumit. Kita juga menyebut (2) sebagai persamaan lingkaran dengan jari-jari $3$ yang berpusat di $(1, 4)$.

Contoh. Persamaan

adalah persamaan lingkaran dengan jari-jari $4$ yang berpusat di $(2, -5)$. Memang, kuadrat jarak antara titik $(x, y)$ dan $(2, -5)$ adalah

Dengan demikian, suatu titik $(x, y)$ terletak pada lingkaran yang ditentukan jika dan hanya jika

Perhatikan khususnya $y + 5$ dalam persamaan ini.

Contoh. Persamaan

adalah persamaan lingkaran dengan jari-jari $\sqrt7$ yang berpusat di $(-2, -3)$.

Contoh. Persamaan

adalah persamaan lingkaran dengan jari-jari $1$ yang berpusat di titik asal. Secara lebih umum, misalkan $r$ adalah bilangan $> 0$. Persamaan

adalah persamaan lingkaran dengan jari-jari r yang berpusat di titik asal. Kita dapat menggambar lingkaran ini seperti pada Gambar 14.

Secara umum, misalkan $a, b$ adalah dua bilangan, dan $r$ adalah bilangan $> 0$. Maka persamaan lingkaran dengan jari-jari $r$, yang berpusat di $(a, b)$, adalah

Ini berarti bahwa lingkaran adalah himpunan semua titik yang memenuhi persamaan di atas.

Titik Rasional pada Lingkaran

Pertama, tidak jelas apa yang kita maksud dengan “deskripsikan semua segitiga siku-siku seperti itu”. Apakah masih ada segitiga siku-siku lain? Jawabannya adalah ya; misalnya, segitiga siku-siku dengan sisi $(8, 15, 17)$. Dengan bereksperimen, kita mungkin menemukan segitiga siku-siku lain lagi, dan pertanyaan pertama yang muncul adalah: Apakah jumlahnya tak terhingga? Jawabannya juga ya, tetapi tidak langsung jelas, meskipun setelah kita menyelesaikan diskusi ini, kita akan segera melihat bahwa jumlahnya tak terhingga.

Kita akan mengubah masalah kita menjadi persamaan. Perhatikan bahwa persamaan

adalah benar jika dan hanya jika

Yang perlu kita lakukan hanyalah membagi kedua sisi dengan $c^2$. Jika $a, b, c$ adalah bilangan bulat, maka hasil bagi $a/c$ dan $b/c$ adalah bilangan rasional. Dengan demikian, setiap solusi persamaan $(*)$ menghasilkan solusi persamaan

dengan bilangan rasional $x$ dan $y$.

Sebaliknya, misalkan $x, y$ adalah bilangan rasional yang memenuhi persamaan $(**)$. Nyatakan $x, y$ sebagai pecahan dengan penyebut yang sama, misalnya $c$. Maka tulis

dengan bilangan bulat $a, b, c$ sedemikian sehingga $c \neq 0$. Maka

Jika kita mengalikan kedua sisi persamaan ini dengan $c^2$, maka kita akan kembali peroleh $(*)$, yaitu,

Jadi untuk menyelesaikan $(*)$ dalam bilangan bulat, cukup menyelesaikan $(**)$ dalam bilangan rasional, dan inilah yang akan kita lakukan.

Suatu titik $(x, y)$ yang memenuhi persamaan $x^2 + y^2 = 1$ dapat dipandang sebagai titik pada lingkaran dengan jari-jari 1, yang berpusat di titik asal. Dengan demikian, untuk menyelesaikan $(**)$ dalam bilangan rasional, kita dapat mengatakan bahwa kita ingin menemukan semua titik rasional pada lingkaran. (Suatu titik rasional $(x, y)$ menurut definisi adalah titik sedemikian rupa sehingga koordinat $x, y$-nya adalah bilangan rasional.)

Langkah selanjutnya adalah memberikan contoh dari poin-poin tersebut. Untuk setiap bilangan $t$, misalkan

Manipulasi aljabar sederhana akan menunjukkan kepada Anda bahwa

Jika kita memberikan nilai khusus pada $t$ yang merupakan bilangan rasional, atau bilangan bulat, maka baik $x$ maupun $y$ akan menjadi bilangan rasional, dan ini memberi kita contoh yang kita inginkan.

Contoh. Misalkan $t = 2$. Maka

Hal ini menghasilkan contoh yang sudah kita miliki sebelumnya, yaitu

Dengan mengalikan kedua sisi dengan $5^2$, diperoleh hubungan berikut:

dan dengan demikian kita mendapatkan kembali segitiga siku-siku $(3, 4, 5)$.

Contoh. Misalkan $t = 4$. Maka dengan menghitung nilai $x$ dan $y$ akan menunjukkan bahwa kita mendapatkan kembali segitiga siku-siku dengan sisi $(8, 15, 17)$.

Contoh. Misalkan $t = 5$. Maka

Dengan menyederhanakan pecahan, kita menemukan bahwa $x = -\frac{12}{13}$ dan $y = \frac{5}{13}$. Ini sesuai dengan segitiga siku-siku dengan sisi 12, 5, dan 13. Perhatikan bahwa

Jelas bahwa kita telah menemukan cara untuk mendapatkan banyak titik rasional pada lingkaran, atau setara dengan banyak segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat. Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa dua nilai $t$ yang berbeda menghasilkan titik $(x, y$) yang berbeda.

Anda bisa bertanya: Bagaimana kita bisa menebak rumus yang menyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $t$ sejak awal? Jawabannya: Rumus-rumus ini sudah dikenal sejak lama. Sejauh yang kita tahu, sejarah tidak memberi tahu kita siapa yang pertama kali menemukannya, tetapi dia adalah seorang matematikawan yang hebat. Yang membedakan seseorang yang berbakat dalam matematika dari seseorang yang tidak berbakat adalah bahwa orang pertama akan mampu menemukan rumus-rumus yang indah tersebut dan orang kedua tidak akan mampu.

Kita masih belum sepenuhnya menyelesaikan masalah titik rasional pada lingkaran, yaitu: Apakah titik-titik yang dijelaskan oleh kedua rumus kita

dengan nilai $t$ yang rasional, merupakan hanya titik-titik rasional pada lingkaran tersebut? Dengan kata lain, apakah memasukkan bilangan rasional untuk $t$ ke dalam rumus-rumus ini menghasilkan semua titik $(x, y)$ dengan $x, y$ bilangan rasional yang terletak pada lingkaran? Jawabannya adalah ya, dengan hanya satu pengecualian. Hal ini didasarkan pada hasil berikut.

Teorema 1. Misalkan $(x, y)$ adalah titik yang memenuhi persamaan

dan sedemikian sehingga $x \neq – 1$. (Lihat Gambar 16.) Misalkan

Maka

Bukti. Dengan mengalikan kedua sisi persamaan $t = y/(x + 1)$ dengan $x + 1$, kita peroleh bahwa

Pengkuadratan menghasilkan

yang memberikan

Kita hilangkan $(x + 1)$ dari kedua sisi, dan menemukan

Memperluas sisi kiri menghasilkan

dan juga

Membagi dengan $t^2 + 1$ memberi kita ekspresi untuk $x$. Menggunakan

dan dengan manipulasi aljabar sederhana, kita menemukan ekspresi untuk $y$, yaitu

Ini membuktikan teorema kita.

Dalam Teorema 1, misalkan $x, y$ adalah bilangan rasional. Maka

juga merupakan bilangan rasional. Dari ekspresi untuk $x$ dan $y$ dalam bentuk $t$, kita simpulkan:

Akibat. Misalkan $x, y$ adalah bilangan rasional sedemikian sehingga

Jika $x \neq – 1$, maka terdapat bilangan rasional $t$ sedemikian sehingga

Jadi, kita telah sepenuhnya menjelaskan titik-titik rasional pada lingkaran, atau secara ekuivalen, segitiga siku-siku dengan sisi-sisi bilangan bulat.

Sekarang kita bisa mengajukan pertanyaan lebih lanjut, seperti:

Tentukan semua pasangan bilangan rasional $(x, y)$ sedemikian sehingga

Ini lebih sulit, tetapi dapat ditunjukkan bahwa satu-satunya solusi adalah

dengan nilai $y$ yang sesuai. Secara umum, dengan diberikan bilangan bulat positif $k$, masalahnya adalah menemukan semua solusi persamaan Fermat:

misalnya, dengan $x$ dan $y$ positif. Diketahui bahwa untuk banyak nilai $k$, tidak ada solusi selain $x = 0$ atau $x = 1$, tetapi solusi secara umum tidak diketahui. Inilah masalah atau problem Fermat yang terkenal itu.

Referensi

Serge Lang. (1988). Basic mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1027-6