Kali ini kita akan mencoba membahas luas bidang geometri pada bidang datar. Dalam matematika, luas adalah konsep fundamental yang mengukur ukuran permukaan atau wilayah dua dimensi. Kita dapat membayangkannya sebagai jumlah ruang datar yang terdapat di dalam batas bentuk tertentu. Meskipun menghitung ukuran persegi panjang itu mudah, konsep luas menjadi dasar bagi beberapa bidang matematika tingkat lanjut seperti yang secara singkat kita bahas kali ini.

Luas Cakram dengan Jari-jari $r$

Kita mengasumsikan bahwa konsep luas dan sifat-sifat dasarnya, yang sesuai dengan intuisi sederhana kita tentang luas, sudah diketahui. Secara khusus, luas persegi dengan sisi a adalah $a^2$, dan luas persegi panjang yang sisi-sisinya memiliki panjang $a,b$ adalah $ab$. (Ingat, satuan panjang tetap sama di seluruh pembahasan, dan menentukan satuan luas.)

Misalkan $r$ adalah bilangan positif, dan perhatikan dilatasi oleh $r$. Kita ingin menganalisis apa yang terjadi pada luas di bawah dilatasi tersebut. Kita mulai dengan kasus paling sederhana, yaitu persegi panjang. Perhatikan sebuah persegi panjang yang sisi-sisinya memiliki panjang $a$ dan $b$ seperti pada Gambar 1 (a). Misalkan kita mengalikan panjang sisi-sisi tersebut dengan $2$, dan memperoleh persegi panjang yang diilustrasikan pada Gambar 1 (b).

Maka sisi-sisi persegi panjang yang diperbesar ini memiliki panjang $2a$ dan $2b$. Oleh karena itu, luas persegi panjang yang diperbesar sama dengan $2a2b = 4ab = 2^2ab$. Demikian pula, misalkan kita memperbesar sisi-sisinya sebanyak 3, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 1 (c).

Maka sisi-sisi persegi panjang yang diperbesar memiliki panjang $3a$ dan $3b$, sehingga luas persegi panjang yang diperbesar sama dengan $3a3b = 9ab = 3^2ab$.

Secara umum, misalkan $S$ adalah persegi panjang yang sisi-sisinya masing-masing memiliki panjang $a, b$. Misalkan $rS$ adalah dilatasi $S$ oleh $r$. Maka sisi-sisi $rS$ masing-masing memiliki panjang $ra$ dan $rb$, sehingga luas persegi panjang $rS$ yang didilatasi sama dengan

Dengan demikian, luas persegi panjang berubah sebesar $r^2$ di bawah dilatasi sebesar $r$.

Hal ini membuat sangat masuk akal bahwa jika $S$ adalah wilayah sembarang pada bidang datar, yang luasnya dapat didekati oleh luas sejumlah persegi panjang yang terbatas, maka luas $S$ itu sendiri berubah sebesar $r^2$ di bawah dilatasi sebesar $r$. Dengan kata lain,

Misalnya, misalkan $D_r$ adalah cakram dengan jari-jari $r$, sehingga $D_1 = D$ adalah cakram dengan jari-jari 1, keduanya berpusat di titik asal (lihat Gambar 2). Maka $Dr = rD_1$.

Misalkan $\pi$ menyatakan nilai numerik dari luas $D_1$. Maka masuk akal bahwa

Kita menggunakan simbol $\pi$ untuk menunjukkan luas $D_1$. Tentu saja, menentukan nilai numeriknya merupakan suatu masalah. Berbagai alat memungkinkan kita untuk melakukan ini, dan kita menemukan nilai desimal yang familiar, $\pi = 3,14159 \ldots$ . Ada kemungkinan kita hanya pernah mendengar $\pi$ sebagai perbandingan keliling terhadap diameter lingkaran dengan jari-jari 1. Pada bagian selanjutnya, kita akan menunjukkan cara membuktikan bahwa perbandingan ini memiliki nilai yang sama dengan luas cakram dengan jari-jari 1. Jadi, $\pi$ yang kita gunakan sekarang adalah sama dengan yang mungkin sudah kita ketahui. Hubungan ini kemudian memberi kita metode untuk menghitung $\pi$. Misalnya, ambil wadah bundar dan pita pengukur, ukur keliling wadah, ukur diameternya, dan ambil perbandingannya. Ini akan memberi Anda nilai untuk $\pi$, setidaknya hingga satu angka desimal. Ada cara yang lebih canggih untuk mencari lebih banyak angka desimal untuk $\pi$, dan kita dapat mempelajari beberapa di antaranya dalam pembahasan kalkulus.

Salah satu metode yang digunakan untuk menghitung $\pi$ juga merupakan metode yang meyakinkan kita bahwa luas cakram dengan jari-jari r adalah $\pi r^2$. Yaitu, kita mendekati cakram tersebut dengan persegi panjang, atau bahkan persegi, seperti pada Gambar 3.

Kita menggambar kisi-kisi yang terdiri dari garis vertikal dan horizontal dengan jarak yang sama satu sama lain, sehingga menentukan dekomposisi bidang menjadi persegi. Jika kisi-kisi cukup halus, yaitu, jika sisi-sisi persegi cukup kecil, maka luas cakram kira-kira sama dengan jumlah luas persegi yang terdapat di dalam cakram. Perbedaan antara luas cakram dan jumlah ini paling banyak akan sama dengan jumlah luas persegi yang berpotongan dengan lingkaran. Untuk menentukan luas cakram secara perkiraan, kita cukup menghitung semua persegi yang terletak di dalam lingkaran, mengukur sisi-sisinya, menjumlahkan luasnya, dan mendapatkan perkiraan yang diinginkan. Dengan menggunakan kertas grafik halus, kita dapat melakukan ini sendiri dan mendapatkan perkiraan luas cakram tersebut.

Tentu saja, kita ingin memperkirakan seberapa baik perkiraan kita. Perbedaan antara jumlah luas semua persegi kecil yang terdapat dalam cakram dan luas cakram itu sendiri ditentukan oleh semua bagian kecil persegi yang menyentuh batas cakram, yaitu yang menyentuh lingkaran. Kita memiliki intuisi yang sangat kuat bahwa jumlah persegi kecil tersebut akan cukup kecil jika grid kita cukup halus, dan sebenarnya, kita memberikan perkiraan untuk kekecilan ini dalam pembahasan berikut.

Misalkan kita membuat grid sedemikian rupa sehingga persegi-persegi tersebut memiliki sisi dengan panjang $c$. Maka diagonal persegi tersebut memiliki panjang $c \sqrt2$. Jika sebuah persegi berpotongan dengan lingkaran, maka setiap titik pada persegi tersebut berjarak paling jauh $c \sqrt2$ dari lingkaran. Lihat Gambar 4 (a).

Hal ini karena jarak antara dua titik mana pun pada persegi paling banyak adalah $c \sqrt2$. Mari kita gambar pita dengan lebar $c \sqrt2$ pada setiap sisi lingkaran, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4 (b). Maka semua persegi yang berpotongan dengan lingkaran harus terletak di dalam pita tersebut. Sangat mungkin bahwa luas pita tersebut paling banyak sama dengan

Jadi, jika kita mengambil nilai c yang sangat kecil, yaitu jika kita mengambil grid yang sangat halus, maka kita melihat bahwa luas cakram tersebut didekati oleh luas yang dicakup oleh persegi yang seluruhnya terletak di dalam cakram.

Argumen serupa juga berlaku untuk wilayah yang lebih umum. Misalnya, kita telah menggambar wilayah $S$ di dalam kurva pada Gambar 5(a), dan kita telah menggambar dilatasi $S$ sebesar 2 pada Gambar 5(b). Maka luas $2S$ sama dengan $4A$, di mana $A$ adalah luas $S$.

Kami juga mengilustrasikan fakta bahwa area-area ini didekati oleh persegi pada Gambar 6(a) dan (b).

Keliling Lingkaran dengan Jari-jari $r$

Misalkan $C$ adalah lingkaran dengan jari-jari 1, dan misalkan $C_r$ adalah lingkaran dengan jari-jari $r$. Kita ingin meyakinkan diri sendiri bahwa

Pada bagian sebelumnya, kita telah mempelajari luas dengan mendekati suatu wilayah $S$ menggunakan persegi. Untuk mempelajari panjang, kita harus mendekati suatu kurva menggunakan segmen garis lurus.

Pada gambar berikut, kami menunjukkan cara mendekati kurva dengan 6 segmen.

Untuk mendekati lingkaran dengan segmen-segmen, kita memilih jenis segmen khusus. Kita menguraikan cakram berjari-jari $r$ menjadi $n$ sektor yang sudut-sudutnya memiliki

Di sini, $n$ adalah bilangan bulat. Gambar tersebut adalah gambar pada Gambar 8, yang digambar dengan $n = 7$.

Sekarang Anda harus mengerjakan Latihan 1, dengan mengambil nilai-nilai khusus untuk $n$, yaitu $n = 4, n = 5, n = 6, n = 8$ (atau lebih jika Anda mau). Dalam setiap kasus, tentukan jumlah derajatnya

dan menggambar sektor-sektor yang sesuai. Secara umum, kita kemudian menghubungkan titik-titik ujung sektor dengan segmen garis, sehingga diperoleh poligon yang terukir di dalam lingkaran. Daerah yang dibatasi oleh poligon ini terdiri dari $n$ segitiga yang kongruen dengan segitiga $T_n$ yang sama, yang terletak di antara segmen dari titik asal $O$ ke titik-titik sudut poligon. Jadi, dalam kasus 4 sisi, kita menyebut segitiga tersebut $T_4$. Pada gambar dengan 5 sisi, kita menyebut segitiga tersebut $T_5$. Pada gambar dengan 6 sisi, kita menyebut segitiga tersebut $T_6$. Pada gambar dengan 8 sisi, kita menyebut segitiga tersebut $T_8$. Dan seterusnya, hingga poligon yang memiliki $n$ sisi, yang kemudian kita sebut segitiga tersebut $T_n$.

Kita menyatakan panjang alas $T_4$ dengan $b_4$ dan tingginya dengan $h_4$. Kita menyatakan alas $T_5$ dengan $b_5$ dan tingginya dengan $h_5$. Secara umum, kita menyatakan alas $T_n$ dengan $b_n$ dan tingginya dengan $h_n$, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8. Karena luas segitiga yang alasnya memiliki panjang $b$ dan tingginya memiliki panjang $h$ adalah $\frac{1}{2}bh$, kita melihat bahwa luas segitiga $T_n$ kita diberikan oleh

Misalkan $A_n$ adalah luas daerah yang dikelilingi oleh poligon, dan misalkan $P_n$ adalah keliling poligon tersebut. Karena daerah poligonal terdiri dari $n$ daerah segitiga yang kongruen dengan segitiga $T_n$ yang sama, kita menemukan bahwa luas $A_n$ sama dengan $n$ kali luas $T_n$, atau dalam simbol,

Di sisi lain, keliling poligon terdiri dari $n$ segmen yang panjangnya semuanya sama dengan $b_n$. Oleh karena itu, $P_n = nb_n$. Dengan mensubstitusikan $P_n$ untuk $nb_n$ ke dalam nilai $A_n$ yang baru saja kita temukan, kita peroleh

Saat $n$ menjadi sangat besar,

dan

Sebagai contoh, jika kita menggandakan jumlah sisi poligon secara berturut-turut, gambarnya akan terlihat seperti Gambar 9.

Misalkan $c$ menyatakan keliling lingkaran dengan jari-jari $r$. Maka $A_r$ mendekati $\pi r^2$. Karena $A_n = \frac{1}{2} P_nh_n$, maka $A_n$ juga mendekati $\frac{1}{2}cr$. Dengan demikian kita peroleh

seperti yang akan ditunjukkan.

Di atas telah kita bahas perilaku luas di bawah pengaruh dilatasi. Kita akhiri bagian ini dengan pembahasan tentang perilaku panjang di bawah pengaruh dilatasi.

Misalkan $r$ adalah bilangan positif. Di bawah dilatasi oleh $r$, jarak antara dua titik dikalikan dengan $r$; dengan kata lain,

Nantinya, ketika kita memiliki koordinat, hal ini akan terbukti. Kita sudah dapat membenarkannya sampai batas tertentu dengan menggunakan teorema Pythagoras. Perhatikan segitiga siku-siku $\triangle POQ$ dengan sisi $a, b$ seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10, sedemikian sehingga sudut siku-sikunya berada di titik asal $O$.

Di bawah pengaruh dilatasi $r$, kedua sisi mengalami dilatasi sebesar $r$, sehingga ketiga titik tersebut

Membentuk segitiga siku-siku yang sisi-sisi tegaknya masing-masing memiliki panjang $ra$ dan $rb$. Berdasarkan teorema Pythagoras, panjang hipotenusa segitiga yang diperbesar adalah

Jika kita membiarkan

Kita melihat bahwa hipotenusa memiliki panjang $rc$. Dengan demikian, panjang hipotenusa juga dikalikan dengan $r$. Seperti yang akan kita lihat nanti ketika kita memiliki koordinat, ini juga berlaku meskipun titik sudut siku-siku tidak harus berada di titik asal.

Untuk menyelidiki apa yang terjadi pada panjang kurva sembarang $S$ di bawah dilatasi, kita mendekati kurva tersebut dengan segmen-segmen seperti pada Gambar 7. Secara umum, misalkan kita mendekati kurva tersebut dengan $n$ segmen di mana $n$ adalah bilangan bulat positif. Misalkan segmen-segmen ini adalah $S_1, \ldots , S_n$. Misalkan $l(S_i)$ menyatakan panjang $S_i$. Jika kita mendilatasi kurva tersebut sebesar $r$, maka $rS$ didekati oleh segmen $rS_1, \ldots , rS_n$. Oleh karena itu, panjang $rS$ didekati oleh

Secara khusus, panjang lingkaran dengan jari-jari 1 adalah $2 \pi$, dan panjang lingkaran dengan jari-jari $r$ adalah $2 \pi r$. Kita telah membuktikannya di atas, dan sekarang kita melihat bahwa hal ini sesuai dengan perilaku umum panjang di bawah dilatasi.

Argumen kita didasarkan pada gagasan mengambil limit ketika $n$ menjadi sangat besar, dan pada gagasan aproksimasi. Ini adalah gagasan dasar kalkulus, yang didedikasikan untuk mensistematiskan gagasan-gagasan ini dan memberikan dasar analitik untuk pengembangan logisnya. Namun, selalu bermanfaat untuk memahami gagasan intuitif terlebih dahulu. Dengan demikian, kita dapat melihat bagian ini sebagai pengantar yang baik untuk kalkulus.

Referensi

Serge Lang. (1988). Basic mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1027-6