Dalam matematika, isometri adalah transformasi yang mempertahankan jarak antar ruang metrik, yang sering disebut gerakan kaku dalam geometri, karena memetakan suatu bangun ke posisi baru tanpa mengubah bentuk atau ukurannya. Sifat kuncinya adalah jarak antara dua titik setelah transformasi tetap sama dengan jarak sebelum transformasi.

Beberapa Pemetaan Standar dari Bidang Datar

Kita perlu mendefinisikan pengertian kekongruenan. Misalnya, jika diberikan dua cakram dengan jari-jari yang sama seperti pada Gambar 1, kita ingin mengatakan bahwa keduanya kongruen.

Demikian pula, jika diberikan dua segitiga seperti pada Gambar 2, kita juga ingin mengatakan bahwa keduanya kongruen.

Secara garis besar, ini berarti bahwa satu bangun dapat ditumpangkan di atas bangun lainnya. Untuk membahas konsep kekongruenan dengan benar, akan lebih mudah untuk mendefinisikan terlebih dahulu konsep yang sedikit lebih umum, yaitu isometri. Untuk melakukan itu, kita harus mendefinisikan konsep yang lebih umum lagi, yaitu pemetaan. Semua konsep ini cukup umum, dan kita akan melihat bahwa konsep-konsep ini mencakup, sebagai kasus khusus, hal-hal yang dapat kita visualisasikan dengan mudah, seperti refleksi, rotasi, peregangan, dll., yang diberikan sebagai contoh. Kita akan membahas hal-hal ini terlebih dahulu, dan kemudian membahas kekongruenan di bagian terakhir.

Yang dimaksud dengan pemetaan (atau peta) bidang ke dirinya sendiri adalah sebuah asosiasi, yang mana setiap titik pada suatu bidang mengasosiasikan titik lain pada bidang tersebut. Jika $P$ adalah sebuah titik dan $P’$ adalah titik yang diasosiasikan dengan $P$ oleh pemetaan tersebut, maka kita menunjuknya dengan tanda panah khusus.

Titik $P’$ yang terkait dengan $P$ disebut nilai pemetaan di $P$. Kita juga mengatakan bahwa $P’$ berkorespondensi dengan $P$ di bawah pemetaan, atau bahwa $P$ dipetakan pada $P’$.

Sama seperti kita menggunakan huruf untuk menunjukkan angka, ada baiknya menggunakan huruf untuk menunjukkan pemetaan. Jadi, jika $F$ adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri, kita menunjukkan nilai $F$ di $P$ dengan simbol-simbol.

Kita juga akan mengatakan bahwa nilai $F(P)$ dari $F$ di $P$ adalah bayangan $P$ di bawah $F$. Jika $F(P) = P’$, maka kita juga mengatakan bahwa $F$ memetakan $P$ pada $P’$.

Berdasarkan definisi, jika $F$ dan $G$ adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri, maka kita memiliki

jika dan hanya jika, untuk setiap titik $P$,

Dengan kata lain, sebuah pemetaan $F$ sama dengan pemetaan $G$ jika dan hanya jika $F$ dan $G$ memiliki nilai yang sama di setiap titik $P$.

Pemetaan konstan

Misalkan $O$ adalah titik yang diberikan pada bidang. Untuk setiap titik $P$, kita mengaitkan titik $O$ yang diberikan ini. Kemudian kita memperoleh pemetaan, dan $O$ adalah nilai pemetaan pada setiap titik $P$. Kita mengatakan bahwa pemetaan ini konstan, dan bahwa $O$ adalah nilai konstannya.

Identitas

Untuk setiap titik $P$, kita mengaitkan $P$ itu sendiri. Ini adalah pemetaan yang cukup sederhana, yang disebut identitas, dan dilambangkan dengan $I$ . Dengan demikian kita memiliki

untuk setiap titik $P$.

Refleksi melalui sebuah garis

Misalkan $L$ adalah sebuah garis. Jika $P$ adalah sembarang titik, misalkan

Misalkan $P$ adalah garis yang melalui $P$ dan tegak lurus terhadap $L$. Misalkan $O$ adalah titik perpotongan $L$ dan $L’$. Misalkan P’ adalah titik pada $L’$ yang berjarak sama dari $O$ seperti $P$, tetapi berlawanan arah. Hubungannya

disebut refleksi melalui $L$, dan dapat dilambangkan dengan $R_L$. Gambar:

Misalkan $O$ adalah titik yang diberikan pada bidang. Untuk setiap titik $P$ pada bidang, kita mengaitkan titik $P’$ yang terletak pada garis yang melewati $P$ dan $O$, di sisi lain $O$ dari P, dan pada jarak yang sama dari $O$ seperti $P$. Pemetaan ini disebut refleksi melalui $O$. Gambar berikut

Kita telah menggambar sebuah titik $P$ dan nilainya $P’$ di bawah pemetaan tersebut, dan juga sebuah titik $Q$ dan nilainya $Q’$ di bawah pemetaan tersebut.

Sebagai contoh, kita dapat mencerminkan keempat sudut persegi panjang melalui titik tengah $O$ dari persegi panjang tersebut. Setiap sudut dipetakan ke sudut yang berlawanan, seperti pada Gambar 5.

Dilasi atau Peregangan

Misalkan $O$ adalah titik yang diberikan pada bidang. Untuk setiap titik $P$ pada bidang, kita mengaitkan titik $P’$ yang terletak pada sinar $R_{OP}$, dengan titik sudut $O$, yang melewati $P$, pada jarak dari $O$ yang sama dengan dua kali jarak $P$ dari $O$. Titik $P’$ dalam hal ini juga dilambangkan dengan $2P$. Gambar:

Pemetaan khusus ini disebut dilasi 2, atau peregangan 2, relatif terhadap $O$. Menurut notasi kita, jika $F$ adalah dilasi 2, relatif terhadap $O$, maka kita memiliki

Pada Gambar 7 (a) telah menggambar titik-titik

$Q$ dan $F_3(Q)$

Pada Gambar 7 (b) telah menggambar titik-titik

Dilasi terkadang juga disebut transformasi kesamaan, tetapi
kata dilasi adalah istilah terpendek dan terbaik yang digunakan untuk menunjukkan konsep tersebut.

Rotasi

Misalkan $O$ adalah titik yang diberikan pada bidang datar, dan misalkan $A$ adalah sudut. Misalkan $P$ adalah titik pada jarak d dari $O$. Misalkan $C$ adalah lingkaran dengan jari-jari $d$ yang berpusat di $O$. Misalkan $P’$ adalah titik pada lingkaran ini sedemikian sehingga sudut $\angle POP’$ memiliki jumlah derajat yang sama dengan $A$. Pemetaan yang mengaitkan $P’$ dengan $P$ disebut rotasi (berlawanan arah jarum jam) oleh $A$, terhadap $O$, atau relatif terhadap $O$. Jika kita menyatakan pemetaan ini dengan $G_A$, maka kita dapat mengilustrasikannya pada Gambar 8 (a), di mana kita telah menggambar $O$, $P$, dan $G_A(P)$.

Kecuali dinyatakan lain, rotasi dengan sudut $A$ akan selalu berarti rotasi berlawanan arah jarum jam. Tentu saja, kita juga dapat mendefinisikan rotasi searah jarum jam dengan $A$, yang kita lambangkan dengan $G_{-A}$. Ini mengaitkan setiap titik $P$ dengan titik $P”$ pada jarak yang sama dari $O$ seperti $P$, dan sedemikian rupa sehingga sudutnya

memiliki ukuran yang sama dengan $A$, seperti pada Gambar 8 (b).

Perhatikan bahwa sudut $A$ yang diberikan belum tentu sama dengan sudut yang dibentuk oleh

(lihat Gambar 9) meskipun keduanya memiliki ukuran yang sama. Namun, pengalaman menunjukkan bahwa dalam diskusi semacam ini, menunjukkan $\angle POP’$

sebagai sudut $A$ tidaklah berbahaya, dan seringkali lebih mudah untuk melakukan hal ini untuk menunjukkan apa yang sedang terjadi. Meskipun demikian, tidak selalu aman untuk melakukan hal ini. Misalnya, dalam segitiga seperti pada Gambar 10 di mana kedua sudut bawah $A$ dan $B$ memiliki ukuran yang sama, kita tidak akan berpikir untuk menunjuknya dengan huruf yang sama.

Perhatikan bahwa rotasi sebesar 180° terhadap $O$ tidak lain adalah refleksi melalui $O$. Jadi, jika $R$ menunjukkan refleksi melalui $O$, maka kita memiliki

Kita juga memiliki

karena nilai dari masing-masing pemetaan ini pada titik $P$ adalah titik $P’$ yang sama. Meskipun pemetaan ini dijelaskan oleh kondisi yang tampak berbeda, pemetaan tersebut tetap sama. Ingat bahwa, menurut definisi, pemetaan $F, G$ sama jika dan hanya jika

untuk semua titik $P$.

Lebih mudah mengaitkan rotasi dengan angka daripada sudut.
Jika $x$ adalah angka antara 0 dan 360, kita misalkan

misalkan rotasi tersebut sebesar sudut $x$ derajat. Perhatikan bahwa

tidak lain adalah identitas. (Agar benar-benar tepat, kita juga harus menunjukkan titik $O$ dalam notasi kita, tetapi sepanjang pembahasan kita, kita berurusan dengan titik yang sama, dan karenanya kita mengabaikannya. Jika kita ingin menunjukkannya secara eksplisit, kita dapat menulis misalnya

untuk rotasi dengan sudut $x$ derajat relatif terhadap titik $O$ yang diberikan.)

Misalkan $x$ adalah bilangan sembarang. Kita menulis $x$ dalam bentuk

di mana $n$ adalah bilangan bulat, dan $w$ adalah bilangan sedemikian sehingga $0 \leq w < 360$. Kita mendefinisikan $G_x$ sebagai

Contoh. Misalkan $x = 500$. Kita tulis

Kemudian berdasarkan definisi

adalah rotasi sebesar 140°.

Contoh. Misalkan $x = -210$. Kita tulis

Kemudian

adalah rotasi sebesar 150°.

Contoh. Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan sedemikian sehingga

untuk suatu bilangan bulat $m$, maka

Yaitu, jika $x = 360n + w$ dengan suatu bilangan bulat $n$, dan $0 \leq w \leq 360$, maka

dan karenanya

Menurut definisi kami, kami memiliki

Kita dapat menginterpretasikan rotasi berlawanan arah jarum jam oleh bilangan negatif sebagai rotasi searah jarum jam oleh bilangan positif.

Contoh. Misalkan $x = -90$. Maka

Jadi

Kita dapat memvisualisasikan ini dengan mengatakan bahwa rotasi searah jarum jam sebesar 90° sama dengan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar 270°.

Kita akan menggunakan konvensi dengan mengatakan bahwa rotasi $G_x$ adalah rotasi sebesar $x$ derajat, atau bahkan dengan sudut $x$ derajat, meskipun $x$ mungkin lebih besar dari 360, atau mungkin negatif. Ini adalah bahasa yang mudah dipahami, dan mencerminkan intuisi geometris kita tanpa menimbulkan kebingungan besar.

Translasi

Mari kita pilih sebuah arah pada bidang datar, dan jarak $d$. Kita dapat mewakili hal ini dengan sebuah panah seperti pada Gambar 11. Panah tersebut hanyalah pasangan berurutan dari titik $(O, M)$, di mana $O$ adalah titik awalnya dan $M$ adalah titik akhirnya.

Panah menunjuk ke arah yang diberikan, dan panjang panah sama dengan jarak yang diberikan. Untuk setiap titik $P$, kita mengaitkan titik $P’$ yang berjarak $d$ dari $P$ ke arah yang diberikan. Ini adalah pemetaan, yang disebut translasi (ditentukan oleh arah dan jarak yang diberikan). Pada Gambar 12, dengan $T$ sebagai translasi ini, kita telah menggambar dua titik $P, Q$ dan bayangannya di bawah $T$.

Translasi yang ditentukan oleh pasangan titik terurut $(O, M)$ akan dilambangkan dengan

Perhatikan bahwa jika $T = T_{OM}$ , maka $T(O)=M$, dan $T_{OO}$ adalah identitas.

LATIHAN

Misalkan $F$ adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri. Kita mendefinisikan titik tetap untuk $F$ sebagai titik $P$ sedemikian sehingga $F(P) = P$.

Jelaskan titik tetap dari pemetaan berikut.

1. Identitas
2. Refleksi melalui titik $O$ tertentu.
3. Refleksi melalui sebuah garis.
4. Rotasi yang tidak sama dengan identitas, sehubungan dengan titik $O$ tertentu.
5. Translasi yang tidak sama dengan identitas.
6. Dilasi oleh bilangan $r > 0$, relatif terhadap titik $O$ tertentu.

Jawaban:

1. Semua titik pada bidang adalah tetap.
2. Pusat refleksi adalah satu-satunya titik tetap.
3. Semua titik pada garis refleksi adalah tetap.
4. Pusat rotasi adalah satu-satunya titik tetap.
5. Tidak ada titik tetap.
6. Pusat dilatasi adalah satu-satunya titik tetap jika $r \neq 1$. Jika $r = 1$, dilatasi tersebut adalah identitasnya.

Isometri

Misalkan $F$ adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri. Kita katakan bahwa $F$ mempertahankan jarak, atau bersifat mempertahankan jarak, jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik $P, Q$ di bidang, jarak antara $P$ dan $Q$ sama dengan jarak antara $F(P)$ dan $F(Q)$. Pemetaan semacam itu juga disebut isometri. (“Iso” berarti sama, dan “metri” berarti ukuran. Lebih praktis menggunakan satu kata daripada dua kata untuk pengertian ini.)

Contoh. Pemetaan konstan yang menghubungkan setiap titik $P$ dengan titik $O$ tertentu bukanlah isometri. Dilatasi dengan 2 bukanlah isometri. Mengapa?

Contoh. Misalkan F adalah salah satu dari pemetaan berikut.

Maka F adalah sebuah isometri.

Hal ini akan diasumsikan tanpa bukti. Nantinya, ketika kita memberikan definisi untuk pemetaan ini yang bergantung pada koordinat, kita akan dapat membuktikan bahwa pemetaan ini adalah isometri dengan sangat sederhana. Setiap isometri dapat diperoleh dengan kombinasi sederhana dari contoh-contoh yang diberikan di atas..

Catatan. Misalkan $F$ adalah isometri. Jika $P, Q$ adalah titik-titik yang berbeda, maka $F(P)$ dan $F(Q)$ harus berbeda, karena jarak antara $P$ dan $Q$ bukan 0, dan karenanya jarak antara $F(P)$ dan $F(Q)$ juga tidak mungkin 0. Bandingkan dengan sifat DIST 1 dari jarak.

Misalkan $S$ adalah himpunan titik-titik di bidang datar dan $F$ adalah pemetaan bidang datar ke dirinya sendiri. Himpunan titik-titik yang terdiri dari semua titik $F(P)$, untuk semua $P$ di $S$, disebut citra $S$ di bawah $F$, dan dilambangkan dengan $F(S)$.

Contoh. Misalkan $F$ adalah refleksi melalui garis $L$. Misalkan $S$ adalah ruas garis: antara dua titik $P$ dan $Q$. Maka bayangan $S$ di bawah $F$ adalah ruas garis: antara $F(P)$ dan $F(Q)$. Gambar:

Dengan notasi kita, kita memiliki

Contoh sebelumnya hanyalah kasus khusus dari sifat umum isometri, yang akan kami nyatakan dalam teorema berikutnya.

Bukti. (Lihat Gambar 16.) Misalkan $X$ adalah titik pada $\bar {PQ}$. Untuk mempermudah, kita nyatakan $F(X)$ dengan $X’$. Karena $F$ mempertahankan jarak, kita tahu bahwa

Dengan SEG 1, kita memiliki

Berdasarkan asumsi pada $F$, kita memiliki

Sekali lagi berdasarkan SEG 1, kita menyimpulkan bahwa $X’$ harus terletak pada segmen antara $P’$ dan $Q’$, sehingga membuktikan bahwa bayangan $\bar{PQ}$ terkandung dalam segmen $\bar{P’Q’}$.

Kita masih harus membuktikan bahwa setiap titik pada segmen $\bar{P’Q’}$ dapat dinyatakan sebagai bayangan di bawah $F$ dari sebuah titik pada $\bar{QP}$. Misalkan $X’$ adalah sebuah titik pada $\bar{P’Q’}$ dengan jarak $r$ dari $P’$. Misalkan $X$ adalah titik pada $\bar{PQ}$ dengan jarak $r$ dari $P$. Maka $F(X)$ berada pada jarak $r$ dari $F(P) = P’$. Dari sini dapat disimpulkan bahwa $F(X) = X’$.

Catatan. Dalam pembuktian ini, kita ingin menunjukkan bahwa dua himpunan titik adalah sama. Kita telah mengikuti pola standar, yaitu kita telah membuktikan bahwa masing-masing merupakan bagian dari yang lain. Pola ini akan diulangi nanti.

Contoh. Misalkan $O$ adalah titik perpotongan diagonal sebuah persegi panjang. Jika kita melakukan refleksi melalui $O$, maka sudut-sudut yang berlawanan akan saling bersinggungan, dan karenanya sisi-sisi yang berlawanan juga akan saling bersinggungan, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 17.

Misalkan $F$ adalah pemetaan bidang ke dirinya sendiri. Kita ingat bahwa titik tetap $P$ dari $F$ adalah titik sedemikian sehingga $F(P) = P$. Titik tetap isometri sekarang akan memainkan peran yang sangat penting dalam mendeskripsikan semua isometri. Kita akan menyelidiki secara sistematis isometri tanpa titik tetap, satu titik tetap, dua titik tetap, dan tiga titik tetap, tetapi dalam urutan terbalik. Dalam kasus terakhir ini, kita akan melihat bahwa isometri tersebut haruslah identitas. Kemudian kita mempertimbangkan setiap kasus dengan satu titik tetap yang lebih sedikit, dan menganalisisnya dengan menggabungkan isometri yang diberikan dengan refleksi, rotasi, atau translasi untuk mendapatkan hasil akhir bahwa setiap isometri harus merupakan gabungan dari hal-hal tersebut.

Bukti. Kita akan membedakan kasus. Misalkan $M$ adalah titik pada garis yang melewati $P$ dan $Q$. Kita ingin menunjukkan bahwa $F(M) = M$.

Kasus 1. Titik $M$ terletak pada segmen $\bar{PQ}$. Misalkan $M’ = F(M)$. Karena $F$ mempertahankan jarak, maka kita memiliki:

Hingga

Berdasarkan SEG 1, ini berarti $M’$ terletak pada segmen antara $P$ dan $Q$. Karena

oleh karena itu, $M = M’$.

Kasus 2. Misalkan $M$ tidak terletak pada segmen $\bar{PQ}$. Misalkan $M$ terletak pada sinar yang memiliki titik puncak $P$ dan melewati $Q$, tetapi pada jarak dari $P$ yang lebih besar daripada jarak dari $Q$, seperti pada Gambar 19.

Kemudian

Berdasarkan SEG 1, ini berarti $Q$ terletak pada segmen antara $P$ dan $M’$. Oleh karena itu $P, Q, M’$ terletak pada garis lurus yang sama, dan karenanya $M’$ terletak pada garis lurus yang melewati $P, Q$. Karena $Q$ terletak pada segmen antara $P$ dan $M’$, kita simpulkan bahwa $M’$ terletak pada sinar yang memiliki verteks $P$ yang melewati $Q$. Karena

Oleh karena itu $M = M’$.

Kasus 3. Kasus ini mirip dengan Kasus 2, ketika $M$ terletak di sisi lain $P$ dari $Q$. Dalam kasus ini, peran $P$ dan $Q$ dibalik, dan pembuktian berlanjut seperti pada Kasus 2, dengan menukar $P$ dan $Q$. Ini mengakhiri pembuktian Teorema 2.

Bukti. Misalkan $L_{PQ}$ dan $L_{QM}$ adalah garis yang melewati $P, Q$ dan $Q, M$, berturut-turut. Misalkan $X$ adalah sebuah titik. Kita harus menunjukkan bahwa $F(X) = X$. Kita dapat menemukan garis $L$ yang melewati $X$ yang memotong $L_{PQ}$ di titik $Z$, dan memotong $L_{QM}$ di titik $Y$ sedemikian sehingga $Y \neq Z$. (Sebagai contoh, pilih titik $Z$ pada $L_{QM}$ yang berbeda dari $M, Q, X$, dan sedemikian sehingga garis $L_{XZ}$ tidak sejajar dengan $L_{PQ}$. Misalkan $L = L_{XZ}$ dan misalkan $Y$ adalah titik perpotongan $L_{XZ}$ dan $L_{PQ}$). Situasi ini diilustrasikan pada Gambar 20.

Berdasarkan Teorema 2, setiap titik pada garis $L_{PQ}$ dan $L_{QM}$ adalah tetap. Oleh karena itu, kita memiliki

Sekali lagi berdasarkan Teorema 2, setiap titik pada garis $L_{YZ}$ adalah tetap, dan kita menyimpulkan bahwa $F(X) = X$. Ini membuktikan teorema kita.

Catatan. Suatu konsekuensi yang sangat penting dari teorema ini akan dinyatakan ketika kita memiliki gagasan tentang invers dari suatu isometri.

Komposisi dari Isometri

Kita dapat mengambil isometri secara berurutan. Misalnya, kita dapat terlebih dahulu memutar bidang dengan sudut $30°$ relatif terhadap titik $O$ yang diberikan; kemudian merefleksikan melalui garis $L$ yang diberikan; kemudian memutar lagi dengan sudut $45°$; dan akhirnya melakukan translasi. Ketika kita mengambil isometri secara berurutan seperti itu, kita mengatakan bahwa kita mengkomposisikannya.

Secara umum, misalkan $F, G$ adalah isometri. Untuk setiap titik $P$, mari kita kaitkan titik $F(G(P))$ yang diperoleh dengan terlebih dahulu mengambil bayangan $P$ di bawah $G$, dan kemudian bayangan titik terakhir ini di bawah $F$. Maka kita memperoleh sebuah asosiasi.

yang merupakan sebuah pemetaan. Bahkan, pemetaan ini adalah sebuah isometri, karena jarak antara dua titik $P, Q$ sama dengan jarak antara $G(P), G(Q)$ (karena $G$ adalah isometri), dan sama dengan jarak antara $F(G(P)) F(G(Q))$ (karena $F$ adalah isometri). Asosiasi

disebut sebagai gabungan atau komposit dari $G$ dan $F$, dan dilambangkan dengan simbol

sehingga kita dapatkan

Contoh. Misalkan $O$ adalah titik yang diberikan. Misalkan $F$ adalah rotasi sebesar $90°$ terhadap $O$, dan misalkan $G$ adalah refleksi melalui $O$. Maka $G \circ F$ adalah rotasi sebesar $270°$. Kita juga melihat bahwa $F \circ F$ adalah rotasi sebesar $180°$, dan dengan demikian kita dapat menulis

Contoh. Misalkan $F$ adalah sembarang isometri dan $I$ adalah identitasnya. Maka

Dengan demikian, $I$ berperilaku seperti perkalian dengan 1.

Kita akan mengasumsikan pernyataan-pernyataan ini tanpa bukti. Keduanya jelas secara intuitif. Dengan menggunakannya, kita dapat menuliskan rumus yang bagus untuk bilangan komposit. Misalkan $P, Q, M$ adalah titik-titik yang berjarak $r$ dari $O$. Maka

Bukti. Citra atau gambar $P$ di bawah komposit $G_{QM} \circ G_{PQ}$ adalah

yang sama dengan citra $P$ di bawah $G_{PM}$. Berdasarkan asumsi bahwa hanya ada satu rotasi yang memiliki efek ini pada $P$. Oleh karena itu kita mendapatkan rumus pertama. Rumus kedua dibuktikan dengan cara yang serupa, dan bahkan lebih sederhana.

Dalam hal angka, kita juga akan mengasumsikan tanpa bukti fakta berikut, yang secara intuitif jelas.

Misalkan $x, y$ adalah bilangan. Misalkan Gx adalah rotasi yang terkait dengan $x$. Maka

Sebagai contoh

Ini berarti bahwa rotasi 45° diikuti rotasi 45° sama dengan rotasi 90°. Selain itu, seperti pada Gambar 22, kita memiliki

Sekali lagi, kita mengasumsikan kedua pernyataan ini tanpa bukti. Sebagai latihan, buktikan rumus-rumus berikut.

Asosiativitas isometri. Misalkan $F, G, H$ adalah isometri. Maka kita memiliki

Bukti. Untuk setiap titik P, kita memiliki

Ini membuktikan pernyataan sebelumnya, karena kedua peta $(F \circ G) \circ H$ dan $F \circ (G \circ H)$ memiliki nilai yang sama di $P$, dan ini berlaku untuk setiap titik $P$.

Kita akan menggunakan notasi yang sama untuk isometri seperti yang kita gunakan untuk angka dalam perkalian. Jika $F$ adalah isometri,

dan seterusnya. Kita nyatakan dengan $F^n$ isometri yang diperoleh dengan mengulangi $F$ dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali.

Contoh. Misalkan $G$ adalah refleksi melalui titik $O$ yang diberikan. Maka kita lihat bahwa

Ini seperti relasi $( – 1)^2 = 1$. Perhatikan bahwa kita memiliki:

sekali lagi dengan analogi pangkat $-1$.

Contoh. Misalkan $F$ adalah rotasi sebesar $90°$. Maka:

Perhatikan sifat siklik yang menarik dari $F$, yaitu $F^5 = F$.

Jika $F$ adalah isometri, kita definisikan

Kemudian untuk setiap bilangan asli $m, n$ kita memiliki hubungan lama

Dengan demikian, komposisi berprilaku seperti perkalian.

Contoh. Misalkan $T$ adalah translasi sejauh $1$ cm ke kanan, dan misalkan $P$ adalah sebuah titik. Maka $P, T(P), T^2(P), T^3(P), . . .$ adalah titik-titik pada garis horizontal, dan $T^{n+1}(P)$ berada $1$ cm di sebelah kanan $T^n(P)$.

Invers dari Isometri

Misalkan $F$ adalah sebuah isometri. Yang dimaksud dengan invers (isometri) untuk $F$ adalah isometri $G$ sedemikian sehingga

Misalkan $G$ dan $H$ adalah invers dari $F$. Maka

Berdasarkan sifat asosiatif, sisi kiri sama dengan

Dengan demikian kita menemukan

Ini adalah jenis pembuktian yang sama yang kita gunakan sebelumnya untuk membuktikan keunikan invers, dan kita melihat bahwa itu berlaku untuk konteks kita saat ini dengan isometri. Kita menyatakan invers dari $F$ dengan $F^{-1}$ jika ada. Asumsikan bahwa inversnya ada. Jika $P, Q$ adalah titik, maka relasinya

setara. Memang, jika $P = F(Q)$, maka dengan menerapkan $F^{-1}$ kita peroleh

dan demikian pula untuk kebalikannya. Jika $P$ adalah bayangan $Q$ di bawah $F$, maka kita juga mengatakan bahwa $Q$ adalah bayangan invers $P$ di bawah $F$.

Contoh. Misalkan $F$ adalah refleksi melalui garis $L$ yang diberikan. Karena

kita menyimpulkan bahwa

Contoh. Untuk setiap angka $x$, misalkan $G_x$ adalah rotasi terkait sebesar $x$ derajat. Maka

karena $G_{-x} \circ G_{x} = G_0 = I$. Misalnya,

Perhatikan juga bahwa jika $G = G_{90}$, maka

Contoh. Misalkan $T_{OM}$ menyatakan translasi yang ditentukan oleh pasangan titik terurut $(O, M)$. Ini adalah translasi ke arah sinar dengan titik puncak atau vertex $O$, yang melewati $M$, dan sedemikian rupa sehingga bayangan titik $P$ terletak pada jarak dari $P$ yang sama dengan panjang segmen $\bar{OM}$. Maka $T_{OM}$ memiliki invers, yang tidak lain adalah $T_{MO}$, yaitu translasi yang berlawanan arah, tetapi dengan jarak yang sama, karena kita memiliki

Contoh. Misalkan $F, G$ adalah isometri yang memiliki invers $F^{-1}$ dan $G^{-1}$ berturut-turut. Maka komposisi $F \circ G$ memiliki invers, yaitu

Ini mudah dilihat. Yang perlu kita lakukan hanyalah memverifikasi bahwa sisi kanan yang dikomposisikan dengan $F \circ G$ di kedua sisi menghasilkan identitas. Tetapi kita memiliki

dan demikian pula di sisi lainnya. Ini membuktikan pernyataan kita.

Misalkan $n$ adalah bilangan bulat negatif, katakanlah $n = -k$, di mana $k$ bilangan positif. Kita mendefinisikan $F$ sebagai komposisi $F^{-1}$ dengan dirinya sendiri sebanyak $k$ kali, yaitu

Kita juga mendefinisikan $F^0 = I$ (identitas). Kemudian kita memiliki rumus

Berlaku untuk semua nilai $m, n$ sebagai bilangan bulat. Hubungan ini analog dengan hubungan yang berlaku untuk pangkat bilangan. Kami tidak menyertakan buktinya, yang bagaimanapun juga mudah.

Contoh. Jika $T$ adalah translasi 1 cm ke kanan, maka $T^{-1}$ adalah translasi 1 cm ke kiri. Jika $U$ adalah translasi 1 cm ke atas, maka $U^{-1}$ adalah translasi 1 cm ke bawah. Demikian juga, $T^{-5}$ adalah translasi 5 cm ke kiri, dan $T^{-6}$ adalah translasi 6 cm ke bawah.

Dengan menggunakan invers, kita sekarang dapat membuktikan sebuah konsekuensi yang sangat berguna dari Teorema 3 yang memberitahu kita kapan dua isometri sama.

Contoh. Misalkan $K$ adalah garis vertikal dan $L$ adalah garis horizontal. Misalkan $H$ adalah refleksi terhadap $L$ dan $V$ adalah refleksi terhadap $K$. Maka $H \circ V = V \circ H$. Untuk melihat ini, kita hanya perlu memverifikasi bahwa $H \circ V$ dan $V \circ H$ memiliki efek yang sama pada tiga sudut persegi yang berpusat di titik perpotongan garis-garis tersebut, dan ini jelas.

Catatan. Akan dibuktikan kemudian bahwa setiap isometri memiliki invers.

Tabel Perkalian

Mari kita sederhanakan notasi dan tulis $FG$ sebagai pengganti $F \circ G$, agar analogi dengan perkalian lebih jelas. Jika $H, V$ adalah refleksi sepanjang garis horizontal dan garis vertikal, masing-masing, seperti di atas, maka kita dapat membuat “tabel perkalian” untuk hasil perkalian keempat elemen $I, H, V, HV$, sebagai berikut.

Tabel perkalian ini dibaca seperti tabel perkalian angka. Di tempat baris berpotongan dengan kolom, kita memiliki nilai hasil perkalian elemen paling kiri di baris tersebut, dikalikan dengan elemen paling atas di setiap kolom. Misalnya, hasil perkalian $H$ dan $HV$ adalah

karena

Demikian pula, hasil perkalian $HV$ dan $HV$ adalah

Tabel perkalian untuk angka akan terlihat seperti ini.

Karakterisasi Isometri

Hasil utama dari bagian ini adalah bahwa isometri dapat dinyatakan sebagai gabungan dari translasi, rotasi, dan mungkin refleksi. Pertama-tama kita buktikan hasil perantara.

Bukti. Misalkan $M$ adalah sebuah titik pada garis bagi tegak lurus dari segmen $\bar{PQ}$, tetapi tidak terletak pada segmen tersebut, seperti pada gambar berikut.

Maka

Jika $M$ ditentukan oleh $F$, yaitu jika $F(M) = M$, maka kita dapat menerapkan Teorema 3 untuk menyimpulkan bahwa $F$ adalah identitas. Misalkan $F(M) \neq M$. Misalkan $M’ = F(M)$ seperti yang ditunjukkan pada Gambar 33. Karena $F$ mempertahankan jarak, maka kita memiliki

Oleh karena itu, berdasarkan konsekuensi dari teorema Pythagoras, titik $M’$ terletak pada garis bagi tegak lurus dari segmen $\bar{PQ}$.

Misalkan $O$ adalah titik perpotongan $\bar{PQ}$ dan $\bar{MM’}$, yaitu titik tengah antara $P$ dan $Q$. Sekali lagi, karena $F$ mempertahankan jarak, dan karena $O$ tetap di bawah $F$, maka kita memiliki

Oleh karena itu, $M’$ adalah refleksi dari $M$ melalui garis lurus $L_{PQ}$. Misalkan $R$ menyatakan refleksi melalui garis ini, sehingga kita memiliki $R = R^{-1}$. Kita juga memiliki

Pertimbangkan isometri komposit

Hal ini membuat $P$ dan $Q$ tetap. Selanjutnya,

Oleh karena itu, $R \circ F$ membiarkan $M$ tetap. Berdasarkan Teorema 3, kita menyimpulkan bahwa $R \circ F = I$. Dengan menggabungkan $R^{-1} = R$ di sebelah kiri, kita menemukan

dari mana

dan teorema kita terbukti.

Bukti. Misalkan $P$ adalah sembarang titik $\neq O$. Jika $F(P) = P$, maka kita berada dalam kasus Teorema 4 dan kita selesai. Misalkan $F(P) \neq P$, dan misalkan $F(P) = P’$. Karena $F$ mempertahankan jarak, maka kita memiliki

Terdapat suatu rotasi terhadap $O$ yang memetakan $P$ pada $P’$. Mari kita sebut rotasi ini dengan $G$. Kita tahu bahwa $G^{-1}$ adalah sebuah rotasi, dan

Sehingga

Ini berarti bahwa $G^{-1}\circ F$ membuat $P$ tetap. Tetapi $G^{-1}\circ F$ juga membuat $O$ tetap. Oleh karena itu kita dapat menerapkan Teorema 4, dan kita menyimpulkan bahwa $G^{-1}\circ F$ adalah identitas atau refleksi $R$. Dalam kasus pertama, kita memiliki

dari situ, dengan menyusun dengan G di sebelah kiri, kita menemukan

dan karenanya

adalah sebuah rotasi.

Pada kasus kedua, kita menemukan

dimana

dan

Ini membuktikan teorema kita.

Bukti. Misalkan $F$ tidak meninggalkan titik tetap. Misalkan $O$ adalah sembarang titik dan misalkan $P = F(O)$. Misalkan $T$ adalah translasi sedemikian sehingga $T(O) = P$. Maka $T^{-1}$ adalah translasi, dan

Karena

Ini berarti bahwa $T^{-1} \circ F$ membuat $O$ tetap. Tetapi $T^{-1} \circ F$ adalah isometri. Oleh karena itu, kita dapat menerapkan Teorema 5, dan kita melihat bahwa

di mana $G$ adalah rotasi dan $R$ adalah refleksi melalui sebuah garis. Pada kasus pertama, kita temukan

dan pada kasus kedua kita temukan

Hal ini membuktikan teorema kita.

Kongruensi

Misalkan $S, S’$ adalah himpunan titik-titik pada bidang datar. Kita akan mengatakan bahwa $S$ kongruen dengan $S’$ jika terdapat isometri $F$ sedemikian sehingga bayangan $F(S)$ sama dengan $S’$.

Bukti. Misalkan lingkaran pertama adalah $C(r, O)$, atau berjari-jari $r$, berpusat di $O$, dan lingkaran lainnya adalah $C(r, O’)$, berpusat di $O’$. Misalkan $T$ adalah translasi yang memetakan $O$ ke $O’$. Kita tahu bahwa $T$ mempertahankan jarak. Oleh karena itu, jika P berjarak $r$ dari $O$, maka $T(P)$ berjarak $r$ dari $T(O) = O’$. Dengan demikian, bayangan lingkaran $C(r, O)$ terkandung dalam lingkaran $C(r, O’)$. Kita masih harus menunjukkan bahwa setiap titik pada $C(r, O’)$ adalah bayangan dari sebuah titik pada $C(r, O)$ di bawah $T$. Misalkan Q adalah titik yang berjarak $r$ dari $O’$. Perhatikan bahwa titik

berada pada jarak $r$ dari $O$, dan bahwa $T(P) = T(T^{-1}(Q)) = Q$. Ini membuktikan pernyataan kita.

Latihan: Misalkan $S, S’, S”$ adalah himpunan-himpunan di bidang datar. Buktikan bahwa jika $S$ kongruen dengan $S’$, dan $S’$ kongruen dengan $S”$, maka $S$ kongruen dengan $S”$. Buktikan bahwa jika $S$ kongruen dengan $S’$, maka $S’$ kongruen dengan $S$.

Jawab: $S$ kongruen dengan $S’$ berarti terdapat isometri $F_1$ sedemikian sehingga $F_1(S) = S’$. Lebih lanjut, $S’$ kongruen dengan $S”$ berarti terdapat isometri $F_2$ sedemikian sehingga $F_2 (S ‘) = S”$. Tetapi kemudian $(F_2 \circ F_1)(S) = F_2(F_1(S)) = S”$. Karena $F_2 \circ F_1$ adalah isometri, maka $S$ kongruen dengan $S”$.

Misalkan $S, S’$ adalah himpunan titik-titik pada bidang datar. Kita akan mengatakan bahwa $S$ kongruen dengan $S’$ jika terdapat isometri $F$ sedemikian sehingga bayangan $F(S)$ sama dengan $S’$.

Bukti. Misalkan $\bar{PQ}$ dan $\bar{MN}$ adalah segmen dengan panjang yang sama. Misalkan $T$ adalah translasi yang memetakan $M$ pada $P$. Maka $T(N)$ berjarak sama dari $T(M) = P$ seperti $Q$, karena $T$ adalah isometri. Oleh karena itu, terdapat rotasi $G$ terhadap $P$ sedemikian sehingga $G(T(N)) = Q$. Dengan demikian, kita simpulkan bahwa $G \circ T$ memetakan $\bar{MN}$ pada $\bar{PQ}$, sehingga membuktikan teorema kita.

Dua langkah pembuktian dalam Teorema 8 yang berkaitan dengan $T$ dan $G$ diilustrasikan pada Gambar 26.

Perhatikan Latihan di atas. Berdasarkan latihan ini, kita juga dapat merumuskan bukti Teorema 8 sebagai berikut. Kita misalkan $T$ adalah translasi sedemikian sehingga $T(M) = P$. Karena citra $\bar{MN}$ di bawah $T$ kongruen dengan $\bar{MN}$, kita direduksi ke kasus ketika $P = M$, yang sekarang kita asumsikan. Berdasarkan asumsi,

Oleh karena itu, terdapat rotasi $G$ terhadap $P$ sedemikian sehingga $G(N) = Q$. Berdasarkan teoreme sebelumnya, kita simpulkan bahwa $\bar{PN}$ kongruen dengan $\bar{PQ}$. Dengan demikian, pembuktian selesai.

Dengan menggunakan bahasa seperti yang kita lakukan, mereduksi pembuktian ke kasus ketika $P = M$, memiliki sedikit keuntungan yaitu kita menghindari keharusan menulis $G \circ T$ komposit secara eksplisit. Kita akan merumuskan pembuktian Teorema 10 dengan cara itu juga. Perhatikan bahwa Teorema 10 adalah kasus kekongruenan klasik dari pembahasan dasar geometri bidang, yang menemukan tempat alaminya dalam sistem kita saat ini.

Sebenarnya, Teorema 9 adalah kasus khusus dari hasil yang lebih umum, yang dinyatakan dalam teorema berikutnya, dan pembuktiannya akan kami berikan secara lengkap.

Bukti. Terdapat translasi yang memetakan $P$ pada $P’$. Oleh karena itu, cukup membuktikan pernyataan kita ketika $P = P’$. Sekarang kita mengasumsikan ini, yaitu $P = P’$. Karena $d(P, Q) = d(P, Q’)$, terdapat rotasi relatif terhadap $P$ yang memetakan $Q$ pada $Q’$. Rotasi ini membuat $P$ tetap. Kita direduksi ke kasus ketika

dan

Kita mengasumsikan bahwa ini adalah kasusnya. Sekarang, $M = M’$, atau $M \neq M’$. Misalkan $M \neq M’$. Kita ilustrasikan ini dengan Gambar 32.

Misalkan $L_{PQ}$ adalah garis yang melewati $P$ dan $Q$. Berdasarkan Korolari teorema Pythagoras, dan fakta bahwa

dan

Kita menyimpulkan bahwa $L _{PQ}$ adalah garis bagi tegak lurus dari $\bar{MM’}$. Secara khusus, $M’$ adalah refleksi dari $M$ melalui $L _{PQ}$. Oleh karena itu, jika kita merefleksikan $M’$ melalui $L _{PQ}$, kita mendapatkan $M$. Dengan demikian, kita telah menemukan komposisi isometri yang memetakan $P$ pada $P’$, $Q$ pada $Q’$, dan $M$ pada $M’$. Berdasarkan teorema sebelumnya, kita menyimpulkan bahwa segitiga-segitiga kita kongruen, seperti yang akan dibuktikan.

Catatan. Pada Teorema 7 hingga 10, kita telah membahas bangun-bangun yang terdiri dari segmen garis. Tentu saja, kita mungkin juga ingin membahas jenis bangun lain, misalnya cakram, atau, katakanlah, daerah segitiga yang dibatasi oleh segitiga, atau daerah yang dibatasi oleh persegi panjang. Karena itu, akan bermanfaat untuk memiliki deskripsi daerah-daerah ini dalam bentuk segmen garis. Kita akan menggunakan segitiga sebagai contoh.

Misalkan $\triangle PQM$ adalah sebuah segitiga, dan misalkan $S$ adalah wilayah yang dibatasi oleh segitiga tersebut. Kita merepresentasikan $S$ sebagai wilayah yang diarsir pada Gambar 28(a).

Kita dapat memberikan definisi $S$ hanya dengan menggunakan konsep segmen garis dengan mengatakan bahwa $S$ terdiri dari semua titik pada semua segmen garis $\bar{PX}$, di mana $X$ mencakup semua titik $\bar{QM}$. Melihat Gambar 28 (b) meyakinkan kita bahwa ini memang bertepatan dengan intuisi geometris kita tentang wilayah segitiga. Dengan menggunakan definisi ini, maka sangat mudah untuk melihat bahwa jika $F$ adalah isometri, maka bayangan $F(S)$ adalah wilayah segitiga yang dibatasi oleh segitiga yang titik sudutnya adalah $F(P), F(Q), F(M)$. Lakukan pembuktian secara detail sebagai latihan. Definisi ini juga merupakan definisi yang digunakan baik dalam matematika murni maupun matematika terapan (misalnya ekonomi).

Demikian pula, misalkan $R_{PQ}$ dan $R_{PM}$ adalah dua sinar yang mendefinisikan sudut yang ukurannya kurang dari $180°$. Sudut tersebut dapat digambarkan sebagai himpunan semua titik pada semua segmen $\bar{XY}$, di mana $X$ adalah titik pada $R_{PQ}$ dan $Y$ adalah titik pada $R_{PM},$ seperti pada Gambar 29.

Isometri dan luas. Pada bagian selanjutnya, kita akan membahas konsep luas. Kita mungkin tertarik untuk mengetahui bagaimana luas suatu wilayah berperilaku di bawah isometri. Wajar untuk mengambil pernyataan berikut sebagai aksioma dasar.

Untuk meyakinkan diri kita bahwa ini adalah pernyataan yang masuk akal, kita dapat menggunakan karakterisasi isometri. Jika kita memvisualisasikan rotasi, refleksi, atau translasi, maka intuisi kita memberi tahu kita bahwa, dalam setiap kasus, luas suatu wilayah tetap terjaga di bawah setiap pemetaan ini. Karena setiap isometri merupakan gabungan dari pemetaan tersebut, kita melihat bahwa luas suatu wilayah tetap terjaga di bawah isometri sembarang.

Misalkan A adalah sudut dan F adalah isometri. Maka F(A) adalah sudut yang ukurannya sama dengan ukuran sudut A. Kita dapat melihat ini dari definisi sudut, dengan melihat bagian sudut A yang terletak pada cakram yang berpusat di titik sudut Ay dan menggunakan fakta bahwa isometri mempertahankan luas. Kita telah menggambarkan kasus ketika isometri adalah translasi Tpp> pada Gambar 6-35. Namun, perhatikan bahwa refleksi membalik urutan sinar yang digunakan untuk menghitung ukuran sudut dalam arah berlawanan arah jarum jam. Gambarlah gambarnya.

Referensi

Serge Lang. (1988). Basic mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1027-6