Angka merupakan hal dasar yang dipakai dalam matematika. Secara sederhana, angka adalah simbol atau lambang yang kita gunakan untuk mewakili suatu bilangan. mari kita mulai perjalanan kita dalam belajar matematika dengan mengenal angka.

Integer atau Bilangan Bulat

Integer atau bilangan bulat merupakan jenis bilangan yang tidak memiliki bagian desimal atau pecahan. Bilangan bulat sering kita jumpai sehari-hari yaitu:

Bilangan di atas dinamakan integer positif atau bilangan bulat positif. Bahkan untuk melakukan perhitungan, kita memerlukan satu angka yang lain yakni:

Sebagai contoh, kita akan menghitung jumlah jawaban yang benar dari 100 pertanyaan saat ujian. Jika semua jawaban benar, maka kita mendapat nilai 100 sedangkan jika mendapat nila 0, maka tidak ada satupun jawaban kita yang benar.

Integer positif atau bilangan positif dan nol juga dapat diwakili secara geometris dengan garis seperti halnya sebuah penggaris.

Adapun himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan integer positif dan nol disebut bilangan natural. Bilangan natural ini dapat dipakai dalam keseharian misalkan dalam menghitung jarak seperti dengan menggunakan penggaris. Secara definisi, titik yang mewakili angka 0 disebut bilangan asal atau origin.

Bilangan natural juga dapat dipakai untuk mengukur hal lainnya. Sebagai contoh termometer yang seperti layaknya penggaris untuk megukur suhu atau temperatur. Akan tetapi, termometer menunjukan jenis angka lain selain bilangan natural karena suhu dapat turun sampai di bawah angka 0. Angka ini disebut bilangan integer negatif atau bilangan bulat negatif seperti minus 1, minus 2, minus 3, …, yang ditulis dengan lambang berikut:

Dalam garis, bilangan integer negatif diwakili garis disebelah angka 0, di sisi lain dari bilangan integer positif.

Himpunan bilangan integer negatif, integer positif, dan nol disebut integer.

Selain mewakili jarak, jumlah, atau suhu, kita juga dapat melakukan operasi bilangan pada angka seperti penambahan, pengurangan, dan lain sebagainya.

Dalam penambahan dengan bilangan integer positif misalkan menambahkan angka 7 terhadap angka lain misalkan 4, maka kita menggeser ke arah kanan 7 satuan dari angka tersebut sehingga:

Tujuh unit ke kanan dari angka 4 adalah 11. Adapun penambahan angka 0 tidak mengubah hasil dari penambahan dari angka asal sehingga:

Bagaimana dengan penambahan bilangan negatif? Misalkan pada termometer suhu sekarang 10° kemudian suhu turun 15°, maka suhu yang baru adalah $-5°$, dan pada persamaan dapat kita tulis:

Dengan demikian dapat kita katakan bahwa $-5$ adalah hasil pengurangan 15 dari 10 atau dengan menambahkan $-15$ ke 10.

Dari sisi titik pada garis, menambahkan angka negatif misalkan $-3$ pada angka lainnya berarti bergeser 3 unit ke arah kiri dari angka tersebut. Sebagai contoh

Artinya dimulai dari 5 dan bergeser 3 unit ke kiri sehingga hasilnya 2. Begitu juga dengan

Demikian juga kita mendapatkan

Kita juga bisa menuliskan persamaan di atas dengan

Oleh sebab itu kita mendapatkan sifat dan persamaan umum yaitu:

Jika kita terapkan pada garis atau penggaris, akan terlihat bahwa $a$ dan $-a$ berada di sisi yang berlawanan dengan 0 di tengahnya sebagaimana gambar di bawah ini

Karena itu, kita juga sekarang dapat menulis

Dari persamaan di atas, gambarnya adalah sebagai berikut

Dikarenakan sifat

makan kita bisa menyebut $-a$ adalah additive inverse dari $a$.

Aturan untuk Penjumlahan Bilangan Bulat/Integer

Integer memiliki aturan yang sangat sederhana untuk operasi penjumlahan. Aturan tersebut adalah:

Komutatif. Jika $a, b$ adalah integer, maka

Contohnya:

atau jika menggunakan bilangan negatif, kita memperoleh

Asosiatif. Jika $a, b, c$ adalah integer, maka

Karena adanya sifat ini, penggunaan tanda kurung menjadi tidak perlu sehingga kiat cukup menulisnya:

Sebagai contoh

Kita dapat menulis langsung seperti ini:

Sifat asosiatif juga berlaku pada bi;angan negatif, sebagai contoh:

Demikian juga,

Aturan penambahan yang disebut di atas tidak dibuktikan. Akan tetapi kita bisa membuktikan aturan lainnya dengan aturan penambahan di atas.

Sebagai permulaan, kita lihat sebagai berikut:

Untuk membuktikan hal tersebut, tambahkan $-a$ di kedua sisi dari persamaan $a+b=0.$ Setelah itu kita dapatkan

Dikarenakan $-a+a+b=0+b=b,$maka kita dapatkan

Begitu juga kita menemukan $b=-a$. Kita juga bisa berkesimpulan bahwa

Sebagaimana untuk menyederhanakan, kita menuliskan

daripada ditulis dengan

Dengan menggabungkan ketiga sifat penambahan tadi dapat kita tulis dengan berbagai cara seperti berikut:

dan kita dapat menulisnya sebagai berikut

dengan menghilangkan semua tanda kurung.

Sebagaimana turunan dari $\text{Jika } a+b=0, \text{ maka } b=-a \text{ dan } a=-b,$maka

Hal ini benar karena

Persamaan di atas juga dapat diaplikasikan dengan $b=-a$, dan berlaku baik $a$ itu positif, negatif, atau nol. Jika $a$ positif maka $-a$ adalah negatif serta sebaliknya jika $a$ negatif maka $-a$ adalah positif. Pada penggambaran secara geometris, $a$ dan $-a$ berada di tempat yang simetris diantara kedua sisi dari angka $0$. Tentu saja kita juga dapat menumpuk tanda minus dan mendapatkan relasi lainnya seperti

atau

Sehingga jika kita tumpukan minus di depan $a$, kita bisa mendapatkan $a$ atau $-a$ secara bergantian.

Oleh sebab itu kita mendapat aturan operasional selanjutnya yakni

atau bisa ditulis

Kita bisa mengutak-atik persamaan dengan sifat penambahan di atas. Misalkan ada tiga angka dengan hubungan sebagai berikut

Dengan menambahkan $-b$ pada kedua sisi, maka kita akan mendapat

Dikarenakan $a+0=b-c$, maka kita dapatkan

Begitu juga kita bisa mendapatkan

Penerapannya adalah sebagai berikut

maka

Begitu juga jika

Kemudian dengan menambahkan $a$ di kedua sisi kita mendapatkan

lalu jika kita mengurangi 3 di kedua sisi kita dapatkan

Sehingga

Contoh lainnya,

maka

Aturan untuk Perkalian Bilangan Bulat/Integer

Kita bisa mengalikan bilangan integer atau bilangan bulat dan hasilnya juga merupakan bilangan integer. Kita bisa membuat daftar aturan yang mengikat pada perkalian dan juga hubungannya dengan penambahan.

Dalam perkalian kita juga menumpai sifat komutatif dan asosiatif dimana:

Kita tekankan bahwa aturan atau sifat ini juga berlaku untuk $a, b, c$bilangan negatif, positif, atau nol. Perkalian juga dilambangkan dengan dot atau titik. Sebagai contoh

dan

Untuk sembarang intefer $a$, aturan perkalian dengan 1 dan 0 adalah:

Sebagai contoh

Pada contoh di atas kita melakukan hal biasa yang sangat bermanfaat yaitu mengumpulkan semua angka eksplisit seperti angka 2 dan 3 di satu sisi dan di sisi lain angka yang diwakili oleh huruf seperti $a$ atau $b$. Dengan menggunakan sifat komutatif dan distributif kita juga dapat melakukan hal serupa seperti ini

atau dengan faktor yang lebih banyak

Disarankan agar melakukan pembuktian kesamaan ini secara lengkap, menggunakan sifat asosiatif dan komutatif untuk perkalian.

Terakhir, kita mempunyai sifat distributif dalam perkalian, yaitu

dan juga di sisi lain

Aturan ini tidak dibuktikan tetapi akan digunakan terus-menerus. Beberapa aturan lain akan dibuktikan dengan melalui sifat distributif pada perkalian bilangan integer.

Pertama, perhatikan bahwa jika kita hanya mengasumsikan sifat distributif dan komutatif pada satu sisi, maka kita dapat membuktikan sifat distributif pada sisi lainnya. Misal, kita asumsikan sifat distributif di sisi kiri maka kita akan mendapatkan

dimana hal ini adalah bukti distributif dari sisi kanan.

Kita juga dapat membuktikan aturan $0a=0$ dari aturan lain mengenai perkalian dan sifat pertambahan. Berikut pembuktiannya

Berikutnya

Dengan menambahkan $-a$ di kedua sisi maka kita dapatkan

Pada sisi kiri menjadi

Jadi kita dapatkan $0a=0$ sebagaimana yang diharapkan.

Kita juga dapat membuktikan

Berikut buktinya

Dari definisi, $(-1)a+a=0$ artinya bahwa $(-1)a=-a$ sebagaimana dituliskan di atas.

Berikut ada pernyataan

Sebagai bukti, kita harus menunjukan bahwa $(-a)b$ adalah bentuk negatif dari $ab$. Oleh sebab itu

Melalui sifat distributif, persamaan di atas dapat kita tulis sebagai berikut:

Dengan demikian, kita sudah medapatkan pembuktian di atas. Dengan cara yang sama, maka kita juga mengambil kesimpulan

Berikut adalah beberapa contoh

Begitu juga dengan

Begitu juga dengan

Dalam setiap kasus di atas, kita harus menunjukkan secara spesifik setiap aturan yang telah kita gunakan untuk menurunkan persamaan yang diinginkan. Sekali lagi, ditekankan bahwa kita harus sangat berhati-hati saat bekerja dengan bilangan negatif dan tanda minus yang berulang. Ini adalah salah satu sumber kesalahan yang paling sering terjadi saat kita mengerjakan perkalian dan penjumlahan.

Sebagai contoh

Begitu juga

Perhatikan bahwa hasil perkalian dua negatif hasilnya adalah positif. Contoh

Untuk pembuktian, kita terapkan aturan

Sehingga didapatkan

Secara lebih umum, untuk sembarang bilangan bulat atau integer $a, b$ kita dapatkan

Dari sini kita lihat bahwa hasil perkalian dua bilangan negatif adalah positif, karena jika $a$ dan $6$ adalah bilangan positif dan $-a$ dan $-6$ adalah bilangan negatif, maka (—a)(—6) adalah bilangan positif $ab$. Misalnya, $-3$ dan $-5$ adalah bilangan negatif, tetapi

Contoh. Hasil perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif adalah negatif. Misalnya, —4 adalah negatif, 7 adalah positif, dan

sehingga $(—4) \space •\space 7$ adalah negatif.

Ketika kita mengalikan suatu bilangan dengan dirinya sendiri beberapa kali, akan lebih mudah menggunakan notasi untuk menyingkat operasi ini. Dengan demikian kita menulis

dan secara umum jika $n$ adalah bilangan integer positif,

Kita katakan bahwa $a^n$ adalah pangkat ke-n dari $a$. Dengan demikian, $a^2$ adalah pangkat kedua dari $a$, dan $a^5$ adalah pangkat kelima dari $a$.

Jika $m, n$ adalah integer positif, maka

Hal ini secara sederhana menyatakan bahwa jika kita mengambil hasil perkalian $a$ dengan dirinya sendiri sebanyak $m+n$ kali, maka ini sama dengan mengambil hasil perkalian $a$ dengan dirinya sendiri sebanyak $m$ kali dan mengalikannya dengan hasil perkalian $a$ dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali.

Contoh

Contoh

Contoh

Kita memiliki aturan lain untuk operasi pangkat, yaitu:

Ini berarti bahwa jika kita mengambil hasil perkalian $a$ dengan dirinya sendiri sebanyak $m$ kali, dan kemudian hasil dari $a^m$ dikalikan dengandirinya sendiri sebanyak $n$ kali, maka kita akan mendapatkan hasil perkalian $a$ dengan dirinya sendiri sebanyak $mn$ kali.

Sebagai contoh

Kita dapatkan

dikarenakan

Sebagai contoh

Contoh. Populasi sebuah kota adalah 300 ribu jiwa pada tahun 1930, dan berlipat ganda setiap 20 tahun. Berapa populasi kota tersebut setelah 60 tahun?

Ini adalah kasus penerapan pangkat. Setelah 20 tahun, populasinya adalah $2\cdot300$ ribu. Setelah 40 tahun, populasinya adalah $2^2 \cdot 300$ ribu. Setelah 60 tahun, populasinya adalah $2^3 \cdot 300$ ribu, yang merupakan jawaban yang benar. Tentu saja, kita juga dapat mengatakan bahwa populasinya akan menjadi 2,4 juta jiwa.

Tiga rumus berikut ini digunakan terus-menerus. Rumus-rumus ini sangat penting sehingga harus dihafal secara menyeluruh dengan membacanya keras-keras dan mengulanginya seperti puisi agar dapat mengingatnya secara kuat.

Pembuktian. Bukti dilakukan dengan menerapkan aturan perkalian secara berulang. Kita mempunyai:

dimana membuktikan rumus pertama.

dimana membuktikan rumus kedua.

dimana membuktikan rumus ketiga.

Contoh

Contoh

Contoh

Contoh

Sejauh ini kita telah membahas contoh-contoh hasil perkalian dua faktor. Tentu saja, kita dapat mengambil hasil perkalian lebih dari satu faktor dengan menggunakan sifat asosiatif.

Contoh, kembangkan persamaan di bawah

sebagai jumlah pangkat $x$ yang dikalikan dengan bilangan bulat.

Pertama-tama kita kalikan dua faktor pertama, dan diperoleh

Kemudian kita kalikan dengan ekspresi teakhir dengan $x+5$ dan kita dapatkan

Bilangan Ganjil dan Genap; Divisibilitas/Keterbagian

Terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4, 5, …, dan kita akan membedakan dua jenis bilangan bulat. Kita menyebutnya

bilangan ganjil dan kita menyebut

bilangan genap.

Dengan demikian, bilangan ganjil bertambah 2 dan bilangan genap bertambah 2. Bilangan ganjil dimulai dengan 1, dan bilangan genap dimulai dengan 2. Cara lain untuk mendeskripsikan bilangan genap adalah dengan mengatakan bahwa itu adalah bilangan bulat positif yang dapat ditulis dalam bentuk $2n$ untuk beberapa integer positif $n$. Misalnya, kita dapat menulis

dan seterusnya. Demikian pula, integer ganjil adalah bilangan bulat yang berbeda dari bilangan genap sebesar 1, dan dengan demikian dapat ditulis dalam bentuk $2m-1$ untuk beberapa integer $m$. Misalnya,

dan seterusnya. Perhatikan bahwa kita juga dapat menulis bilangan bulat ganjil dalam bentuk

jika kita menyatakan $n$ menjadi bilangan asli, yaitu $n=0$, maka kita mendapatkan

dan seterusnya.

Bukti. Kita akan membuktikan pernyataan kedua, dan sisanya kita serahkan sebagai latihan. Asumsikan bahwa $a$ adalah bilangan genap dan $b$ adalah bilangan ganjil. Maka kita dapat menulis

untuk suatu bilangan bulat positif $n$ dan suatu bilangan asli $k$. Maka

Hal ini menjadi bukti bahwa $a+b$ merupakan bilangan ganjil.

Pembuktian. Asumsikan bahwa $a$ adalah bilangan genap. Ini berarti bahwa $a=2n$ untuk beberapa integer positif $n$. Maka

dimana $m=2n^2$adalah sebuah integer positif oleh sebab itu $a^2$merupakan bilangan genap.

Selanjutnya, anggaplah $a$ adalah bilangan ganjil, dan tuliskan $a=2n+1$ untuk suatu integer $n$. Kemudian

Oleh $a^2$ adalah ganjil, sehingga membuktikan teorema tersebut.

Bukti. Ini sebenarnya hanya perumusan ulang teorema, dengan mempertimbangkan logika biasa. Jika $a^2$ adalah genap, maka $a$ tidak mungkin ganjil karena kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil. Jika $a^2$ adalah bilangan ganjil, maka $a$ tidak mungkin genap karena kuadrat bilangan genap adalah genap.

Kita dapat menggeneralisasi sifat yang digunakan untuk mendefinisikan integer genap. Misalkan $d$ adalah integer positif dan $n$ adalah bilangan bulat. Kita akan mengatakan bahwa $d$ membagi $n$, atau bahwa $n$ habis dibagi $d$ jika kita dapat menuliskan

untuk suatu bilangan bulat $k$. Dengan demikian, bilangan genap adalah integer positif yang habis dibagi 2. Menurut definisi kita, angka 9 habis dibagi 3 karena

Selain itu, 15 habis dibagi 3 karena

Selain itu, $-30$ habis dibagi 5 karena

Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat habis dibagi 1, karena kita selalu dapat menulis

Lebih jauh lagi, setiap bilangan bulat positif dapat dibagi habis oleh dirinya sendiri.

Bilangan Rasional

Yang dimaksud dengan bilangan rasional adalah sebuah pecahan biasa, yaitu ditulis

di mana $m, n$ adalah integer dan $n \neq 0$. Dalam mengambil hasil bagi $m/n$ tersebut, ditekankan bahwa kita tidak dapat membagi dengan 0, sehingga kita harus selalu memastikan bahwa $n \neq 0$. Misalnya,

Sama seperti yang kita lakukan dengan bilangan bulat, kita dapat merepresentasikan bilangan rasional pada garis. Misalnya, $\frac{1}{2}$ terletak setengah jalan diantara 0 dan 1, sedangkan $\frac{2}{3}$ terletak dua pertiga jalan antara 0 dan 1, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Bilangan rasional negatif $-\frac{3}{4}$ terletak di sisi berlawanan dari 0 dengan jarak $\frac{3}{4}$ dari 0. Pada gambar berikut, kita telah menggambar $-\frac{3}{4}$ dan $-\frac{5}{4}$.

Tidak ada representasi tunggal dari bilangan rasional sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Misalnya

Kita dapat menginterpretasikan ini secara geometris pada garis tersebut. Jika kita membagi segmen antara 0 dan 1 menjadi empat bagian yang sama, dan kita mengambil dua perempatnya, maka ini sama dengan mengambil setengah dari segmen tersebut. Gambar:

Kita membutuhkan aturan umum untuk menentukan kapan dua ekspresi hasil bagi bilangan bulat menghasilkan bilangan rasional yang sama. Kita mengasumsikan aturan ini tanpa bukti. Aturan tersebut dinyatakan sebagai berikut.

Aturan untuk perkalian silang. Misalkan $m, n, r, s$ adalah bilangan bulat dan anggap bahwa $n \neq 0$ dan $s \neq 0$. Maka

Istilah “perkalian silang” muncul dari visualisasi persamaan di bawah:

Sebagai contoh kita punya

karena

Begitu pula

karena

(kedua sisi sama dengan 63).

Kita juga tidak membedakan antara bilangan bulat $m$ dan bilangan rasional $m/1$. Dengan demikian kita tulis

Dengan konvensi ini, kita melihat bahwa setiap bilangan bulat juga merupakan bilangan rasional. Misalnya, $3=3/1$ dan $-4-14/1.$

Perhatikan kasus khusus perkalian silang ketika salah satu sisinya adalah integr. Misalnya:

dimana semuanya merupakan formula atau persamaan yang setara dari suatu relasi yang melibatkan n.

Tentu saja, perkalian silang juga berlaku untuk bilangan negatif. Misalnya

karena

(kedua sisi sama dengan 40).

Catatan. Untuk saat ini, kita membahas hasil bagi integer dan menjelaskan bagaimana perilakunya. Di bagian selanjutnya kita akan membahas invers perkalian. Di sana, dapat kita melihat bagaimana aturan perkalian silang sebenarnya dapat dibuktikan dari sifat-sifat invers tersebut. Beberapa orang menganggap bukti ini sebagai alasan mengapa perkalian silang “berfungsi”. Namun, dalam beberapa konteks, seseorang ingin mendefinisikan invers perkalian dengan menggunakan aturan perkalian silang. Inilah alasan mengapa hal ini ditekankan di sini secara terpisah.

Aturan pembatalan untuk pecahan. Misalkan $a$ adalah bilangan bulat bukan nol. Misalkan $m, n$ adalah bilangan bulat, $n \neq 0$. Maka

Bukti. Untuk menguji kesamaan, kita menerapkan aturan perkalian silang. Kita harus memverifikasi bahwa

yang kita lihat terbukti benar berdasarkan sifat asosiatif dan komutatif.

Contoh-contoh yang diberikan adalah kasus khusus dari aturan pembatalan ini. Misalnya

Dalam menangani hasil bagi bilangan bulat yang mungkin negatif, ada baiknya untuk memperhatikan bahwa

Hal ini dibuktikan dengan perkalian silang, yaitu kita harus memverifikasi bahwa

yang kita sudah tahu itu benar.

Aturan pembatalan mengarahkan kita untuk menggunakan aturan divisinilitas yang telah disebutkan sebelumnya. Memang, misalkan $d$ adalah bilangan bulat positif dan $m, n$ habis dibagi $d$(atau seperti yang juga kita katakan, bahwa $d$ adalah pembagi persekutuan dari $m, n$). Maka kita dapat menulis

untuk integer $r$ dan $s$, maka

Kami melihat bahwa aturan pembatalan telah berlaku.

Contoh

karena 10 dan 15 sama-sama habis dibagi 5.

Kita katakan bahwa suatu bilangan rasional adalah positif jika dapat ditulis dalam bentuk $m/n$, di mana $m, n$ adalah bilangan bulat positif. Misalkan $a$ adalah bilangan rasional positif. Kita dapat mengatakan bahwa $a$ diekspresikan dalam bentuk paling sederhana sebagai pecahan

di mana $r, s$ adalah bilangan bulat positif jika satu-satunya pembagi persekutuan dari $r$ dan $s$ adalah 1.

Bukti. Pertama, tuliskan bilangan rasional positif yang diberikan sebagai hasil bagi bilangan bulat positif $m/n$. Kita tahu bahwa 1 adalah pembagi persekutuan dari $m$ dan $n$. Lebih lanjut, setiap pembagi persekutuan paling banyak sama dengan $m$ atau $n$. Jadi di antara semua pembagi persekutuan ada satu yang terbesar, yang kita lambangkan dengan $d$. Dengan demikian kita dapat menulis

untuk integer positif $r$ dan $s$. Bilangan rasional kita sama dengan

Yang perlu kita lakukan sekarang adalah menunjukkan bahwa satu-satunya pembagi persekutuan dari $r$ dan $s$ adalah 1. Misalkan $e$ adalah pembagi persekutuan yang lebih besar dari 1. Maka kita dapat menulis

dengan integer positif $x$ dan $y$. Sehingga

Oleh karena itu, $de$ adalah pembagi persekutuan untuk $m$ dan $n$, dan lebih besar dari $d$ karena $e$ lebih besar dari 1. Ini tidak mungkin karena kita mengasumsikan bahwa $d$ adalah pembagi persekutuan terbesar dari $m$ dan $n$. Oleh karena itu, 1 adalah satu-satunya pembagi persekutuan dari $r$ dan $s$, dan teorema kita terbukti.

Contoh. Setiap bilangan rasional positif dapat dinyatakan sebagai hasil bagi $m/n$, di mana $m, n$ adalah bilangan bulat positif yang kedua-duanya bukan genap, karena jika $m/n$ adalah ekspresi bilangan rasional ini dalam bentuk paling sederhana, maka 2 tidak dapat membagi $m$ dan juga $n$ sekaligus, dan oleh karena itu setidaknya salah satu dari keduanya harus ganjil.

Misalkan

adalah bilangan rasional, yang dinyatakan sebagai hasil bagi integer atau bilangan bulat. Kita dapat menempatkan bilangan rasional ini di atas penyebut bersama $ns$ dengan menuliskan

Sebagai contoh, untuk menempatkan $3/5$ dan $5/7$ di atas denominator atau penyebut bersama $5 \cdot 7=35$, kita tulis

Hal ini membawa kita pada rumus penjumlahan bilangan rasional. Pertama-tama, mari kita pertimbangkan kasus khusus, yaitu ketika bilangan rasional memiliki penyebut yang sama, misalnya

Hal ini cukup masuk akal hanya dari interpretasi bilangan rasional: Jika kita memiliki tiga perlima dari sesuatu, dan menambahkan delapan perlima dari hal yang sama, maka kita mendapatkan sebelas perlima dari hal tersebut. Secara umum, kita dapat menulis aturan penjumlahan ketika bilangan rasional memiliki penyebut yang sama sebagai berikut

Contoh. Terdapat

Ketika bilangan rasional tidak memiliki penyebut yang sama, kita mendapatkan rumus penjumlahannya dengan menempatkannya di atas penyebut yang sama. Yaitu, misalkan $\frac{m}{n}$ dan $\frac{r}{s}$ adalah bilangan rasional, yang dinyatakan sebagai hasil bagi integer $m, n$ dan $r, s$ dengan $n \neq 0$ dan $s \neq 0$. Maka kita telah melihat bahwa

Dengan demikian, bilangan rasional kita sekarang memiliki penyebut bersama $sn$, dan dengan demikian rumus penjumlahan dalam kasus ini secara umum adalah

Contoh

Contoh

Dengan menggunakan aturan penjumlahan bilangan rasional, kita langsung menyimpulkan: Jumlah bilangan rasional positif juga positif. Perhatikan juga bahwa angka 0 memiliki sifat

untuk setiap bilangan bulat $n \neq 0$. Memang, dengan menerapkan uji kesamaan dua pecahan kita, kita harus memverifikasi bahwa

dan hal tersebut adalah benar karena kedua sisi nilainya sama dengan 0.

Untuk setiap bilangan rational $a$ kita dapatkan

Hal ini dengan mudah dilihat dengan menggunakan sifat analog dari nteger. Yaitu, tulis $a=m/n$, di mana $m, n$ adalah bilangan bulat, dan $n \neq 0$. Maka

dan hal ini juga berlaku untuk sisi yang lain.

Misalkan kita tetapkan $a=m/n$ adalah bilangan rasional, dimana $m, n$ adalah integer dan $n \neq 0$. Maka kita dapatkan

Dengan alasan di atas kita dapatkan

Kita juga mendapatkan

Ini menunjukkan bagaimana tanda minus dapat dipindahkan di berbagai suku pecahan tanpa mengubah nilai pecahan tersebut.

Bilangan rasional yang dapat ditulis sebagai pecahan.

Jika $m, n$ adalah bilangan bulat positif, maka angka tersebut akan disebut negatif. Misalnya

adalah negatif. Dengan menggunakan definisi penjumlahan bilangan rasional, kita dapat dengan mudah memverifikasi sendiri bahwa jumlah bilangan rasional negatif adalah negatif.

Penjumlahan bilangan rasional memenuhi sifat-sifat komutatatif dan asosiatif.

Sama seperti yang kita lakukan untuk bilangan bulat, pernyataan di atas akan diterima tanpa bukti. Ini sebenarnya adalah sifat umum dari bilangan yang jauh lebih umum, yang akan diuraikan kembali untuk bilangan-bilangan tersebut di bagian selanjutnya.

Pada bagian terdahulu, kita membuktikan sejumlah sifat penjumlahan hanya dengan menggunakan sifat komutatif dan asosiatif, beserta aturan-aturan

Sifat-sifat ini juga tetap berlaku untuk bilangan rasional.

Pernyataan ini akan diulangi lagi nanti setiap kali kita menjumpai situasi serupa. Misalnya, seperti yang kita lihat sebelumnya

Kita hanya perlu menambahkan $-a$ ke kedua sisi persamaan $a+b=0$. Dengan kata lain, kita dapat mengatakan: Untuk menguji apakah suatu bilangan rasional sama dengan minus bilangan rasional lainnya, yang perlu kita verifikasi hanyalah bahwa jumlah kedua bilangan tersebut sama dengan 0.

Sekarang kita akan memberikan rumus perkalian bilangan rasional. Rumusnya adalah:

Jadi, untuk mengambil hasil perkalian dua bilangan rasional, kita mengalikan pembilangnya dan mengalikan penyebutnya. Lebih tepatnya, pembilang dari hasil perkalian adalah hasil perkalian pembilangnya, dan penyebut dari hasil perkalian adalah hasil perkalian penyebutnya.

Contoh. Kita mempunyai

Juga

Kita dapat menulis pecahan terakhir ini dalam bentuk yang lebih sederhana, yaitu

Kita kemudian dapat membatalkan atau menghapus 2 dan mendapatkan

Ini menunjukkan bahwa terkadang lebih baik untuk tidak melakukan perkalian sebelum mempertimbangkan kemungkinan pembatalan.

Contoh. Terdapat

Contoh. Misalkan $a=m/n$ adalah bilangan rasional yang dinyatakan sebagai hasil bagi bilangan bulat. Maka

Begitu pula,

Sedcara umum, untuk setiap integer positif $k$, kita dapatkan

Contoh

Begitu juga

Contoh. Suatu zat kimia terurai sedemikian rupa sehingga volumenya berkurang setengah setiap 10 menit. Jika terdapat 20 gram (g) zat tersebut pada waktu tertentu, berapa banyak yang tersisa setelah 50 menit?

Ini mudah dilakukan. Setelah10 menit, kita memiliki $\frac{1}{2} \cdot 20 \text{ g}$ yang tersisa. Pada akhir 20 menit, kita memiliki $\frac{1}{2^2} \cdot 20 \text{ g}$ yang tersisa, dan seterusnya; pada akhir 50 menit, kita memiliki

gram yaang tersisa. Ini adalah jawaban yang benar. Jika kita ingin mengubah pecahan ke bentuk paling sederhana, kita dapat melakukannya, dan kemudian kita dapatkan jawabannya dalam bentuk $\frac{5}{8} \text{ g}$. Kita juga dapat mengubahnya menjadi desimal, yang tidak kita lakukan di sini.

Kita bertanya: Apakah ada bilangan rasional positif $a$ yang kuadratnya adalah 2? Jawabannya pada awalnya tidak jelas. Bilangan seperti itu adalah akar kuadrat dari 2. Perhatikan bahwa $1^2=1 \cdot 1=1$ dan $2^2=4$. Dengan demikian, kuadrat dari 1 lebih kecil dari 2 dan kuadrat dari 2 lebih besar dari 2. Oleh karena itu, setiap akar kuadrat positif dari 2 akan terletak di antara 1 dan 2 jika ada. Kita dapat bereksperimen dengan berbagai desimal untuk melihat apakah menghasilkan akar kuadrat dari 2. Misalnya, mari kita coba desimal yang berada tepat di tengah antara 1 dan 2. Kita memiliki

dimana lebih besar dari 2. Karenanya 1,5 bukan meruapak akar kuadrat dari 2 dan dan terlalu besar untuk menjadi jawaban pertanyaan di atas.

Kita bisa mencoba secara lebih sistematis, yaitu:

Kita tahu bahwa 1,5 terlalu besar, dan oleh karena itu kita harus menggunakan angka desimal berikutnya untuk mencoba lebih lanjut.

Oleh karena itu, kita harus melanjutkan ke angka desimal berikutnya untuk percobaan lebih lanjut. Kita mencoba secara berturut-turut (1,411)², (1,412)², (1,413)², (1,414)² dan menemukan bahwa angka-angka tersebut terlalu kecil. Dengan menghitung (1,415)², kita melihat bahwa angka tersebut terlalu besar. Kita bisa terus melanjutkan seperti ini. Ada beberapa hal yang perlu dikatakan tentang prosedur kita.

1. Sistem ini sangat sistematis, dan dapat diprogram menggunakan komputer.
2. Hal ini memberi kita perkiraan yang semakin baik terhadap akar kuadrat dari 2, yaitu memberikan kita bilangan rasional yang kuadratnya semakin mendekati 2.

Namun, untuk menemukan bilangan rasional yang kuadratnya adalah 2, prosedurnya agak merepotkan karena teorema berikut.

Teorema 4. Tidak ada bilangan rasional positif yang kuadratnya adalah 2.

Bukti. Misalkan bilangan rasional tersebut ada. Kita dapat menuliskannya dalam bentuk paling sederhana $m/n$ berdasarkan teorema 3. Secara khusus, tidak mungkin $m$ dan $n$ keduanya genap. Kita memiliki

Oleh karena itu, kita memperoleh

dan kita peroleh $m^2$ adalah bilangan genap. Berdasarkan korolari teorema 2, kita menyimpulkan bahwa $m$ harus genap, dan oleh karena itu kita dapat menulis

untuk suatu bilangan bulat positif $k$. Dengan demikian kita peroleh

Kita dapat menghilangkan angka 2 dari kedua sisi persamaan.

dan memperoleh

Ini berarti bahwa $n^2$ adalah bilangan genap, dan seperti sebelumnya, kita menyimpulkan bahwa $n$ itu sendiri harus genap. Dengan demikian, dari asumsi awal kita bahwa $(m/n)^2=2$ dan $m/n$ merupakan bentuk paling sederhana, kita telah memperoleh fakta yang mustahil bahwa $m, n$ keduanya genap. Ini berarti bahwa asumsi awal kita $(m/n)^2=2$ tidak mungkin benar, dan ini mengakhiri pembuktian teorema kita.

Suatu bilangan yang bukan rasional disebut bilangan irasional. Dari teorema 4, kita melihat bahwa jika terdapat bilangan positif $a$ sedemikian sehingga $a^2=2$, maka a haruslah irasional. Kita akan membahas hal ini lebih lanjut di bagian selanjutnya yang membahas bilangan real secara umum.

Perkalian bilangan rasional memenuhi aturan dasar yang sama seperti perkalian bilangan bulat. Kami menyatakannya sekali lagi:

Seperti sebelumnya, kita menganggap ini sebagai sifat-sifat bilangan. Selain itu, kita memiliki catatan yang sama untuk perkalian seperti yang kita miliki untuk penjumlahan. Semua sifat yang dibuktikan hanya menggunakan sifat-sifat dasar juga berlaku untuk bilangan rasional. Dengan demikian, rumus-rumus yang kita miliki, seperti

sekarang terbukti berlaku juga untuk bilangan rasional.

Contoh. Selesaikan persamaan untuk mencari nilai $a$

Kita menambahkan 1 ke kedua sisi persamaan, dan dengan demikian memperoleh

Kemudian kita bagi dengan 3 dan mendapatkan

Contoh. Selesaikan persamaan untuk $x$

Berikutnya kita dapat

dimana

Tentu saja kita bisa memberikan argumen lain untuk menemukan jawabannya. Misalnya, kita bisa terlebih dahulu mendapatkan

dimana

Ini adalah jawaban yang benar. Namun, kita juga dapat memberikan jawabannya dalam bentuk pecahan. Kita tulis $3=\frac{6}{2}$, dan kita temukan bahwa

Contoh. Selesaikan persamaan untuk $x$

Kita kalikan kedua sisi persamaan dengan 2 dan peroleh

Kemudian kita tambahkan $-3x$ ke kedua sisi, untuk mendapatkan

Ini menyelesaikan soal kita.

Invers Perkalian

Bilangan rasional memenuhi satu sifat yang tidak dipenuhi oleh bilangan bulat, yaitu:

Memang, jika $a=m/n$ di mana $m, n$ adalah bilangan bulat $\neq 0$, maka $a^{-1} = n/m$ = karena

Kita menyebut $a^{-1}$ sebagai invers perkalian dari $a$.

Contoh. Invers perkalian dari $\frac{1}{2}$ adalah $\frac{2}{1}$, atau 2, karena

Invers perkalian dari $\frac{2}{3}$ adalah $\frac{3}{2}$. Invers perkalian dari $-\frac{5}{7}$ adalah $-\frac{7}{5}$.

maka

Bukti. Kita kalikan kedua sisi persamaan $ab=1$ dengan $a^{-1}$, dan kita peroleh

Dengan menggunakan sifat asosiatif di sebelah kiri, kita temukan

sehingga kita menemukan $b=a^{-1}$ seperti yang diinginkan.

Dari keberadaan invers untuk bilangan rasional bukan nol, kita dapat menyimpulkan:

Jika $ab=0$, maka $a=0$ atau $b=0$

Bukti. Misalkan $a \neq 0$. Kalikan kedua sisi dari persamaan $ab=0$ dengan $a^{-1}$. Kita peroleh:

Di sisi lain, $a^{-1}ab=1b=b$, sehingga kita dapatkan $b=0$ seperti yang diharapkan.

Kita akan menggunakan notasi yang sama seperti untuk hasil bagi bilangan bulat dalam mengambil hasil bagi bilangan rasional.
Kita tulis

Contoh. Misalkan $a=\frac{3}{4}$ dan $b=\frac{5}{7}$. Maka

Contoh. Kita dapatkan

Aturan perkalian silang yang berlaku untuk hasil bagi bilangan bulat juga berlaku ketika kita ingin mengalikan silang bilangan rasional. Kita akan menyatakannya, dan membuktikannya hanya dengan menggunakan sifat-sifat dasar penjumlahan, perkalian, dan invers.

Perkalian silang. Misalkan $a, b, c, d$ adalah bilangan rasional, dan anggap bahwa $b \neq 0$ dan $d \neq 0$.

Bukti. Misalkan $a/b=c/d$. Kita bisa menulis ulang relasi tersebut dalam bentuk

Kalikan kedua sisi dengan $db$ (dimana sama dengan $bd$).Kita peroleh

sehingga

karena $bb^{-1}a=1a=1$, begitu pula, $dd^{-1}c=1c=c.$

Kebalikannya, kita asumsikan $ad=bc$. Kita kalikan kedua sisi dengan $b^{-1}d^{-1}$, dimana sama dengan $d^{-1}b^{-1}$. Kita peroleh

hasilnya

yang artinya $a/b=c/d$, seperti yang diharapkan.

Contoh. Dengan perkalian silang, kita peroleh

jika dan hanya jika

dimana sama dengan

Dengan demikian kita dapat menyelesaikan persamaan untuk $x$, dan mendapatkan $x=\frac{5}{2}$.

Contoh. Dengan perkalian silang, kita peroleh

jika dan hanya jika

Lagi, dengan melakukan perkalian silang, persamaan di atas sama dengan

atau

Kurangi $2x$ di kedua sisi dari persamaan di atas sehinnga kita dapat menyelesaikan persamaa untuk $x$, dan kita dapatkan

Hukum pembatalan untuk perkalian. Misalkan $a$ adalah bilangan rasional $\neq 0$.

Bukti. Kalikan kedua sisi dari persamaan $ab=ac$ dengan $a^{-1}$. Kita akan memperoleh

sehingga $b=c.$

Kita juga memiliki hukum pembatalan yang serupa dengan hukum untuk hasil bagi bilangan bulat.

Jika $a, b, c, d$ adalah bilangan rasional dan $a \neq 0$, $c \neq 0$, maka

Hal ini dapat diverifikasi, misalnya, dengan perkalian silang, karena kita memiliki

(menggunakan sifat komutatif dan asosiatif).

Dengan demikian, kita dapat melakukan operasi dengan pecahan yang dibentuk dari bilangan rasional sama seperti kita dapat melakukan operasi dengan pecahan yang dibentuk dari bilangan bulat.

Contoh. Jika $a/b$ dan $c/d$ adalah dua hasil bagi bilangan rasional (dan $b \neq 0$, $d \neq 0$), maka kita dapat menempatkannya di atas “penyebut umum” dan menuliskan

Contoh. Jika $x, y, b$ adalah bilangan rasional dan $b \neq 0$, maka kita dapat menjumlahkan hasil bagi dengan cara yang mirip dengan penjumlahan hasil bagi bilangan bulat,yaitu

Dengan menggabungkan hal tersebut dengan prosedur “penyebut umum” dari contoh sebelumnya, kita menemukan

Rumus ini sepenuhnya analog dengan rumus yang mengekspresikan jumlah dua bilangan rasional.

Contoh. Tunjukkan bahwa

Untuk melakukan ini, kita menambahkan kedua hasil bagi di sebelah kiri dengan rumus umum yang baru saja kita turunkan, dan mendapatkan:

seperti yang telah ditunjukkan.

Catatan. Pada contoh sebelumnya, hasil bagi $1/(x-y)$ dan $1/(x+y)$ tidak masuk akal jika $x-y=0$ atau $x+y=0$. Dalam kasus seperti itu, kita secara diam-diam mengasumsikan bahwa $x$ dan $y$ sedemikian rupa sehingga $x-y\neq0$ atau $x+y\neq0$. Selanjutnya, kita terkadang akan menghilangkan penyebutan eksplisit kondisi tersebut jika tidak ada bahaya atau potensi menimbulkan kebingungan.

Contoh. Selesaikan persamaan untuk x berikut ini

Kita melakukan perkalian silang. Untuk $2x-5\neq0$, yaitu $x\neq \frac{5}{2}$ , kita temukan persamaan yang setara

Kemudian

Ini akhirnya menghasilkan

dimana

Contoh. Kita berikan contoh dari dunia fisika. Misalkan sebuah objek bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan konstan. Misalkan $s$ menyatakan kecepatan, $d$ menyatakan jarak yang ditempuh objek, dan $t$ menyatakan waktu yang dibutuhkan untuk menempuh jarak $d$. Maka dalam fisika, kita dapat memverifikasi rumus

Tentu saja, kita harus memilih satuan waktu dan jarak sebelum kita dapat mengaitkan angka dengan satuan tersebut. Misalnya, anggaplah jarak yang ditempuh adalah 5 km, dan waktu yang dibutuhkan adalah $\frac{1}{2}$ jam. Maka kecepatannya adalah

Contoh. Seseorang melakukan perjalanan dan mengemudi selama 8 jam, menempuh jarak 400 km. Kecepatan rata-ratanya adalah 60 km/jam di jalan tol, dan 30 km/jam saat melewati kota. Berapa lama orang tersebut mengemudi melewati kota selama perjalanannya?

Untuk menyelesaikan ini, misalkan $x$ adalah lamanya waktu yang dihabiskan orang tersebut mengemudi melalui kota. Maka lamanya waktu orang tersebut berada di jalan bebas hambatan adalah $8-x$. Jarak yang ditempuh melalui kota sama dengan $30x$, dan jarak yang ditempuh di jalan bebas hambatan adalah $60(8-x)$. Karena total jarak yang ditempuh adalah 400 km, maka kita memiliki

Persamaan ini sama dengan

dan

Sehingga kita dapatkan

Oleh karena itu, orang tersebut menghabiskan $\frac{8}{3}$ jam mengemudi melewati kota-kota tersebut.

Contoh. Radiator mobil berisi 8 liter cairan, yang terdiri dari air dan 40% antibeku. Berapa banyak cairan yang harus dikuras dan diganti dengan antibeku jika campuran yang dihasilkan harus mengandung 90% antibeku?

Misalkan $x$ adalah jumlah liter yang harus dikuras. Setelah menguras jumlah tersebut, kita akan mendapatkan $(8-x)$ liter cairan, di mana 40% di antaranya adalah antibeku. Dengan demikian, kita akan mendapatkan

dari antibeku. Karena sekarang kita menambahkan $x$ liter antibeku, kita melihat bahwa $x$ memenuhi

Dari sini kita dapat menyelesaikan persamaan untuk $x$, mengubah persamaan ini menjadi persamaan-persamaan yang setara sebagai berikut

yang berjumlah

dimana

Ini adalah jawaban yang benar, tetapi jika kita bersikeras untuk mengubah pecahan ke bentuk paling sederhana, maka kita dapat mengatakan bahwa $6\frac{2}{3}$ liter harus diganti dengan antibeku.

Catatan. Contoh-contoh di atas, dan latihan-latihan tersebut, juga dapat dikerjakan menggunakan dua variabel.

Latihan

Latihan 1

Misalkan $n$ adalah bilangan bulat positif. Dengan $n$ faktorial, yang ditulis $n!$, kita maksudkan hasil perkalian

dari $n$ bilangan bulat positif pertama. Misalnya,

Latihan 1 (a). Carilah nilai dari $5!$, $6!$, $7!$, dan $8!$.

Latihan 1 (b). Definisikan $0! = 1$. Definisikan koefisien binomial.

untuk setiap bilangan asli $m, n$ sedemikian sehingga $n$ terletak antara $0$ dan $m$. Hitung koefisien binomialnya.

Koefisien binomial $\binom{m}{n}$adalah sama dengan jumlah cara $n$ dapat dipilih dari jumlah $m$.

Latihan 1(c). Perlihatkan bahwa

Latihan 1(d). Perlihatkan bahwa

Jawaban.

$\text {1 (a) } 5! = 120; 6! = 720; 7! = 5,040; 8! = 40,320$

$\text {1 (c)}$

$\text {1 (d)}$

Referensi

Serge Lang. (1988). Basic mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1027-6