Pintar Matematika

Persamaan Kuadrat

Ditulis oleh

Cecep Sobur

di

,

Kita tahu cara menyelesaikan persamaan seperti ini

3x−2=0.3x-2=0.

Dalam persamaan seperti itu, xx hanya muncul dalam pangkat satu. Sekarang kita akan mempertimbangkan kasus yang lebih sulit berikutnya, yaitu ketika xx muncul dalam pangkat dua atau kuadrat. Pertama-tama kita akan membahas beberapa contoh.

Contoh 1. Perhatikan persamaan

(1)x2−3x+1=0.\begin{align*} {\text(1)} && x^2-3x+1=0. \end{align*}

Kita ingin menyelesaikan persamaan untuk xx, yaitu menentukan semua nilai xx yang memenuhi persamaan di atas. Pada akhirnya kita akan menurunkan rumus umum untuk persamaan kuadrat ini. Sebelum menurunkan rumus tersebut, kita akan menerapkan metode yang digunakan untuk menurunkan rumus umum pada contoh khusus.

Menyelesaikan persamaan di atas sama artinya dengan menyelesaikan persamaan berikut:

(2)x2−3x=−1.\begin{align*} {\text(2)} && x^2-3x=-1. \end{align*}

Kita ingin menambahkan sebuah angka ke kedua sisi persamaan ini sehingga sisi kiri menjadi sebuah kuadrat, dengan bentuk (x−s)2.(x -s)^2. Kita tahu bahwa

(x−s)2=x2−2sx+s2.(x-s)^2 = x^2 -2 sx + s^2.

Maka kita membutuhkan 2s=32s = 3, atau s=23s = \frac{2}{3}. Akibatnya, dengan menambahkan (23)2(\frac{2}{3})^2 ke setiap sisi persamaan (2), kita peroleh

x2−3x+94=−1+94=54.x^2-3x+\frac{9}{4} = -1 + \frac{9}{4}=\frac{5}{4}.

Sisi kiri telah disesuaikan sehingga menjadi kuadrat, yaitu

x2−3x+94=(x−32)2,x^2-3x+\frac{9}{4}={\biggl( x-\frac{3}{2} \biggr)}^2,

dan oleh karena itu, menyelesaikan persamaan ini sama dengan menyelesaikan

(x−32)2=54{\biggl( x-\frac{3}{2} \biggr)}^2=\frac{5}{4}

Sekarang kita dapat mengambil akar kuadrat, dan kita menemukan bahwa xx adalah solusi jika dan hanya jika

x−32=±54 x-\frac{3}{2}= \pm \sqrt{\frac{5}{4}}

Kita tahu bahwa nilai hasil dari angkat pangkat bisa bilangan positif atau negatif. Oleh karena itu, akhirnya kita menemukan dua kemungkinan nilai untuk xx, yaitu

x=32±54 x= \frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{5}{4}}

Ini adalah cara penulisan dengan singkatan dari kedua nilai tersebut atau jika kita panjangkan

x=32+54danx=32−54.\begin{align*} x= \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}} && \text{dan} && x= \frac{3}{2}- \sqrt{\frac{5}{4}}. \end{align*}

Contoh 2. Kita ingin menyelesaikan persamaan

(3)x2+2x+2=0.\begin{align*} {\text(3)} && x^2+2x+2=0. \end{align*}

Kita menerapkan metode yang sama seperti sebelumnya. Kita harus menyelesaikan

x2+2x=−2.x^2 + 2x = -2.

Kita menambahkan 1 ke kedua sisi, sehingga kita dapat menyatakan sisi kiri dalam bentuk

x2+2x+1=(x+1)2.x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.

Menyelesaikan persamaan (3) sama artinya dengan menyelesaikan

(x+1)2=−2+1=−1(x + 1)^2=-2+1=-1

Namun, bilangan riil negatif tidak mungkin merupakan kuadrat dari bilangan riil, dan kita menyimpulkan bahwa persamaan kita tidak memiliki solusi dalam bilangan riil.

Contoh 3. Kita ingin menyelesaikan persamaan

(4)2x2−3x−5=0.\begin{align*} {\text(4)} && 2x^2-3x-5=0. \end{align*}

Ini sama artinya dengan menyelesaikan

2x2−3x=5.2x^2 – 3x = 5.

Kali ini, kita melihat bahwa x2x^2 dikalikan dengan 2. Untuk mengurangi masalah kita sehingga mirip dengan persamaan yang telah kita selesaikan sebelumnya, kita membagi seluruh persamaan dengan 2, dan menyelesaikan (4) sama dengan menyelesaikan

(5)x2−32x=52.\begin{align*} {\text(5)} && x^2-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}. \end{align*}

Sekarang kita dapat melengkapi kuadrat di sebelah kiri seperti yang kita lakukan sebelumnya. Kita perlu mencari bilangan ss sedemikian sehingga

x2−32x=x2−2sxx^2-\frac{3}{2}x=x^2-2sx

Ini berarti bahwa s=34s = \frac{3}{4}. Menambahkan s2s^2 ke kedua sisi (5), kita peroleh

x2−32x+916=52+516=4916x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{5}{16}=\frac{49}{16}

Jika sisi kiri dinyatakan sebagai kuadrat, ini setara dengan

(x−34)2=4916.{\biggl( x-\frac{3}{4} \biggr)}^2=\frac{49}{16}.

Sekarang kita dapat menyelesaikan persamaan untuk xx, sehingga diperoleh

x−34=±4916 x-\frac{3}{4}= \pm \sqrt{\frac{49}{16}}

atau dengan kata lain,

x=34±4916 x=\frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{49}{16}}

Itulah jawaban kita. Meskipun jawaban ini benar, terkadang lebih mudah untuk memperhatikan kemungkinan penyederhanaan. Dalam kasus ini, kita mencatat bahwa

4916=74,\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4},

dan karenanya

x=34±74 x=\frac{3}{4} \pm \frac{7}{4}

Sehingga

x=104danx=−44=−1.\begin{align*} x= \frac{10}{4}&& \text{dan} && x= \frac{-4}{4}=-1. \end{align*}

adalah dua kemungkinan solusi dari persamaan kita.

Sekarang kita siap untuk menurunkan pemecahan pada persamaan kuadrat secara umum.

Teorema. Misalkan a,b,ca, b, c adalah bilangan riil dan a≠0a \neq 0. Solusi dari persamaan kuadrat

(6)ax2+bx+c=0\begin{align*} {\text(6)} && ax^2 + bx + c = 0 \end{align*}

diberikan oleh rumus

x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

asalkan b2−4acb^2- 4ac bernilai positif, atau 00. Jika b2−4acb^2- 4ac bernilai negatif, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi dalam bilangan riil.

Bukti. Menyelesaikan persamaan (6) sama dengan menyelesaikan

ax2+bx=−cax^2 + bx = -c

Dengan membagi dengan aa, kita lihat bahwa ini setara dengan menyelesaikan

(7)x2+bax=−ca\begin{align*} {\text(7)} && x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \end{align*}

Untuk melengkapi kuadrat di sebelah kiri, kita membutuhkan

x2+bax=x2+2sxx^2 + \frac{b}{a}x = x^2 + 2sx

dan karena s=b/2as = b/2a. Oleh karena itu, kita tambahkan s2=b2/4a2s^2 = b^2/4a^2 ke kedua sisi persamaan (7), dan menemukan persamaan yang setara

(x+b2a)2=ca+b24a2=b2−4ac4a2\begin{align*} {\biggl( x+\frac{b}{2a} \biggr)}^2 & = \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}\\ &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \end{align*}

Jika b2−4acb^2 – 4ac bernilai negatif, maka sisi kanan

b2−4ac4a2\frac{b^2-4ac}{4a^2}

bernilai negatif, dan karenanya tidak mungkin merupakan kuadrat dari bilangan riil. Jadi persamaan kita tidak memiliki solusi riil. Jika b2−4acb^2 – 4ac bernilai positif, atau 0, maka kita dapat mengambil akar kuadratnya, dan kita menemukan

x+b2a=± b2−4ac2a x+\frac{b}{2a} = \pm \space \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Dengan menyelesaikan persamaan untuk xx, diperoleh

x=−b2a± b2−4ac2a x= -\frac{b}{2a} \pm \space \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

yang dapat ditulis ulang sebagai

x=−b±b2−4ac2a x= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Ini membuktikan teorema kita.

Catatan. Jika b2−4ac=0b^2 – 4ac = 0, maka kita mendapatkan tepat satu solusi untuk persamaan kuadrat, yaitu

x=−b2a x= \frac{-b}{2a}

Jika b2−4ac>0b^2 -4ac > 0, maka kita mendapatkan tepat dua solusi, yaitu

x=−b+b2−4ac2a x= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

dan

x=−b−b2−4ac2a. x= \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Rumus kuadrat ini sangat penting sehingga harus dihafal.
Bacalah dengan lantang seperti sebuah puisi, untuk mendapatkan ingatan yang mantap.

Contoh 4. Selesaikan persamaan tersebut.

3x2−2x+1=0.3x^2 – 2x + 1 = 0.

Kali ini kita menggunakan rumusnya, dan hasilnya adalah

x=−(−2)±(−2)2−4⋅32⋅3=4±−86\begin{align*} x & = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 3}}{2\cdot 3}\\ &= \frac{4\pm \sqrt{-8}}{6} \end{align*}

Dalam kasus ini, kita melihat bahwa b2−4acb^2 – 4ac di bawah tanda akar kuadrat adalah negatif, dan dengan demikian persamaan kita tidak memiliki solusi dalam bilangan real.

Contoh 5. Selesaikan persamaan berikut

2x2+3x—4=0.2x^2 + 3x — 4 = 0.

Sekali lagi, gunakan rumusnya untuk mendapatkan

x=−3±9−4⋅2⋅(−4)2⋅2=−3±9+324=−3±414\begin{align*} x & = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4\cdot 2 \cdot (-4)}}{2\cdot 2}\\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 32}}{4} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{4} \end{align*}

Inilah jawaban kita, dan mendapatkan dua nilai xx yaitu

x=−3+414danx=−3−414\begin{align*} x = \frac{-3 + \sqrt{41}}{4} && \text{dan} && x = \frac{-3 – \sqrt{41}}{4} \end{align*}

Catatan. Dalam pembuktian teorema mengenai solusi persamaan kuadrat, kita perlu melakukan operasi penjumlahan, perkalian, dan akar kuadrat. Jika kita mengetahui bahwa bilangan riil dapat diperluas ke sistem bilangan yang lebih besar di mana operasi-operasi ini berlaku, termasuk kemungkinan mengambil akar kuadrat dari bilangan riil negatif, maka rumus kita akan berlaku dalam sistem bilangan yang lebih besar ini, dan akan kembali memberikan solusi persamaan dalam semua kasus. Kita akan melihat di pembahasan tentang bilangan kompleks bagaimana cara mendapatkan sistem seperti itu.

Referensi

Serge Lang. (1988). Basic mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1027-6

Komentar

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

More posts