Kita selalu berusaha untuk mengingat dengan jelas apa yang kami asumsikan dan apa yang kita buktikan. Yang kita maksud dengan “bukti” adalah serangkaian pernyataan yang masing-masing diasumsikan, atau mengikuti dari pernyataan sebelumnya melalui aturan deduksi, yang itu sendiri diasumsikan. Aturan deduksi ini pada dasarnya adalah aturan akal sehat.

Logika Matematika

Kita menggunakan kalimat “Jika . . . , maka” ketika satu pernyataan menyiratkan pernyataan lainnya. Misalnya, kita menggunakan kalimat seperti:

Ini adalah pernyataan yang benar, yang mengikuti struktur kalimat umum:

Kebalikan dari pernyataan ini diberikan oleh:

Maka kebalikan dari pernyataan kita (1) adalah:

Kita melihat bahwa kebalikannya juga benar.

Setiap kali kita menghadapi situasi seperti itu, kita bisa menghemat ruang, dan cukup mengatakan:

Sehingga

Namun, menggunakan “hanya jika” secara sendiri-sendiri, alih-alih dalam konteks “jika dan hanya jika”, selalu terdengar agak canggung. Karena struktur bahasa, orang cenderung menafsirkan “A hanya jika B” sebagai “jika B, maka A”. Oleh karena itu, kita tidak akan pernah menggunakan frasa “hanya jika” secara sendiri-sendiri, melainkan hanya sebagai bagian dari frasa lengkap “A jika dan hanya jika B”.

Contoh. Pernyataan: “Jika $x = – 3$, maka $x^2 = 9$” adalah pernyataan yang benar. Kebalikannya:

adalah pernyataan yang salah, karena $x$ bisa sama dengan 3. Jadi pernyataan:

merupakan pernyatan yang salah.

Contoh. Pernyataan:

“Jika dua garis tegak lurus, maka keduanya memiliki satu titik persekutuan” adalah pernyataan yang benar. Kebalikannya:

“Jika dua garis memiliki titik persekutuan, maka kedua garis tersebut tegak lurus” adalah pernyataan yang salah.

Contoh. Pernyataan:

“Dua lingkaran kongruen jika dan hanya jika keduanya memiliki jari-jari yang sama” adalah pernyataan yang benar.

Kita sering memberikan bukti dengan apa yang disebut “metode kontradiksi”. Kita ingin membuktikan bahwa suatu pernyataan A adalah benar. Untuk melakukan ini, kita menganggap bahwa A salah, dan kemudian dengan penalaran logis yang dimulai dari anggapan bahwa A salah, kita sampai pada suatu absurditas, atau pada kontradiksi dari pernyataan yang benar. Kemudian kita menyimpulkan bahwa anggapan kita “A salah” tidak mungkin benar, sehingga A harus benar.

Contohnya terjadi ketika kita membuktikan bahwa $\sqrt2$ bukanlah bilangan rasional. Kita melakukan ini dengan mengasumsikan bahwa $\sqrt2$ adalah bilangan rasional, kemudian mengekspresikannya sebagai pecahan dalam bentuk paling sederhana, dan kemudian menunjukkan bahwa pada kenyataannya, baik pembilang maupun penyebut dari pecahan ini harus genap. Ini bertentangan dengan hipotesis bahwa $\sqrt2$ dapat berupa pecahan, dalam bentuk paling sederhana, sehingga kita menyimpulkan bahwa $\sqrt2$ bukanlah bilangan rasional.

Beberapa pernyataan benar, beberapa salah, dan beberapa tidak bermakna. Terkadang sekumpulan simbol tidak bermakna karena beberapa huruf, seperti $x$, atau $a$, muncul tanpa kualifikasi yang tepat.

Kami memberikan contohnya. Ketika kita menulis persamaan seperti $2x = 5$, seperti pada (1), konteksnya seharusnya memperjelas bahwa $x$ menunjukkan angka. Namun, jika ada kemungkinan keraguan, hal ini harus selalu ditentukan. Dengan demikian, formulasi yang lebih tepat dari (1 ) adalah:

Demikian pula, formulasi yang lebih tepat dari (2) adalah:

Simbol

secara terpisah juga merupakan sebuah persamaan. Pada dasarnya, persamaan ini hanya menunjukkan kemungkinan hubungan, tetapi untuk memberikan makna, kita harus mengatakan sesuatu yang lebih tentang $x$. Misalnya:

Dari pernyataan-pernyataan ini, (a) benar, (b) salah, (c) salah, dan (d) benar. Kita juga dapat menggunakan simbol “$2x = 5$” dalam konteks seperti:

Kalimat ini sebenarnya agak ambigu, karena kata “menentukan”. Dalam arti tertentu, persamaan itu sendiri, $2x = 5$, menentukan angka $x$ tersebut. Kita telah mencoba menghindari ambiguitas semacam itu dalam pembahasan kita. Namun, konteks suatu pembahasan dapat memperjelas makna kalimat sebagai berikut:

Inilah yang akan kita pahami ketika dihadapkan dengan kalimat (e), atau dengan kalimat serupa seperti:

Dalam penulisan matematika, penggunaan kalimat lengkap sangatlah penting. Banyak kesalahan terjadi karena kita membiarkan simbol-simbol yang tidak lengkap seperti

untuk terjadi, tanpa kualifikasi yang tepat, seperti pada kalimat (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g).

Contoh. Simbol “$x^2 = 2$” sendiri hanyalah sebuah persamaan.
Kalimatnya:

adalah salah. Kalimat

“Terdapat bilangan real $x$ sedemikian sehingga $x^2 = 2$.”

adalah benar.

Ekualitas atau Persamaan

Kita akan menggunakan kata “persamaan” antara objek untuk menyatakan bahwa keduanya adalah objek yang sama. Jadi ketika kita menulis

maksudnya, angka yang diperoleh dengan menambahkan 2 dan 3 sama dengan angka yang diperoleh dengan mengurangi 1 dari 6. Angka tersebut adalah 5.

Kita menggunakan kata “ekuivalen” dalam beberapa konteks. Pertama, jika A dan B adalah pernyataan (yang mungkin benar atau salah), kita mengatakan bahwa keduanya setara yang berarti:

A benar jika dan hanya jika B benar.

Sebagai contoh, dua pernyataan berikut ini setara dalam pengertian ini:

Kita akan menggunakan kata “setara” dalam konteks lain, tetapi akan menjelaskannya jika diperlukan.

Kami tidak menggunakan kata “ekualitas” seperti yang terkadang digunakan, misalnya dalam geometri dasar. Dua segitiga berikut ini tidak sama:

Namun, keduanya kongruen, dan berdasarkan definisi kesetaraan yang sesuai untuk segitiga, kita bahkan dapat mengatakan bahwa keduanya setara. Perhatikan bahwa luas segitiga-segitiga ini sama. Dengan cara yang sama, segmen garis berikut ini tidak identik:

Akan tetapi, panjang kedua garis tersebut adalah sama

Matematika yang kita bahas di sini, seperti kebanyakan matematika, memiliki banyak aplikasi dan padanan di dunia fisik. Misalnya, angka dapat digunakan untuk mengukur panjang, luas, kecepatan, kepadatan, dan lain sebagainya.

Untuk kejelasan, kita mencoba menggunakan bahasa sedemikian rupa sehingga gagasan matematika biasanya tidak diidentifikasi dengan padanan fisiknya. Dengan demikian, kita menggunakan kata-kata seperti “sesuai” atau “mewakili” ketika kita ingin mengaitkan besaran fisik dengan besaran matematika.

Sejalan dengan ini, kita dapat menangani objek matematika pada dua tingkatan: tingkatan murni logis berupa aksioma, deduksi, dan bukti; dan tingkatan fisik campuran.

Seringkali, cukup membosankan dan belum tentu mencerahkan untuk bersikeras bahwa kita hanya mengikuti prosedur yang benar-benar logis.

Akan lebih bermanfaat dan mungkin lebih menyenangkan untuk mengikuti intuisi fisik kita dalam argumen tertentu. Kita akan melihat contoh dari kedua jenis argumen tersebut ketika kita membahas geometri dalam konteks intuitif dan analitisnya.

Himpunan (Set) dan Unsur (Element)

Mengikuti terminologi matematika, kumpulan objek disebut himpunan. Objek-objek dalam himpunan ini disebut elemen atau unsur himpunan.

Himpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Dengan kata lain:

“ $x$ adalah unsur dari R”

artinya sama dengan mengatakan

“ $x$ adalah bilangan riil”

Misalkan $S$ dan $T$ adalah himpunan. Kita katakan bahwa $S$ adalah himpunan bagian dari $T$ jika setiap elemen dari $S$ juga merupakan elemen dari $T$. Misalnya:

Himpunan bilangan rasional merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan riil.
Himpunan bilangan bulat merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan rasional.
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan rasional. Himpunan ini juga merupakan himpunan bagian dari R (yaitu himpunan bagian dari bilangan riil).
Himpunan anak laki-laki merupakan himpunan bagian dari himpunan semua anak.
Himpunan semua bilangan real $x$ sedemikian sehingga $2x + 3 < 5$ adalah himpunan bagian dari bilangan riil.

Sesuai konvensi, kita memperbolehkan himpunan bagian dari suatu himpunan $S$ adalah seluruh $S$. Dengan demikian, setiap himpunan adalah himpunan bagian dari dirinya sendiri. Kalimatnya:

“Untuk setiap himpunan $S$, $S$ adalah himpunan bagian dari $S$“

adalah kalimat yang benar.

Contoh. Tidak ada elemen dalam himpunan semua bilangan $x$ yang memenuhi kondisi berikut.

Tidak ada elemen dalam himpunan semua bilangan positif $x$ yang memenuhi kondisi berikut.

Setiap kali hal ini terjadi, yaitu suatu himpunan tidak memiliki elemen, kita mengatakan bahwa himpunan tersebut kosong. Jadi, himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $2x > 1$ dan $x < -3$ adalah himpunan kosong.

Misalkan $S, S’$ adalah himpunan. Seringkali, untuk membuktikan bahwa $S = S’$, kita membuktikan bahwa $S$ adalah himpunan bagian dari $S’$ dan bahwa $S’$ adalah himpunan bagian dari $S$.

Contoh. Misalkan $S$ adalah himpunan bilangan $x$ sedemikian sehingga $1 \leq x \leq 2$. Misalkan $T$ adalah himpunan semua bilangan $5x$ dengan semua $x$ berada di $S$. Kita berpendapat bahwa $T$ adalah himpunan bilangan $y$ dengan $5 \leq y \leq 10$. Pertama, perhatikan bahwa jika $x$ berada di $S$, maka $5x$ memenuhi ketidaksamaan

Oleh karena itu, jika $T’$ adalah himpunan semua bilangan $y$ yang memenuhi $5 \leq y \leq 10$, kita melihat bahwa $T$ terkandung dalam $T’$. Sebaliknya, misalkan $y$ adalah sebuah titik dari $T’$, yaitu anggaplah bahwa

Misalkan $x = y / 5$. Maka $x$ berada di $S$ dan $y = 5x$. Oleh karena itu $T’$terkandung di dalam $T$. Ini membuktikan bahwa $T = T’$.

Indeks

Dalam kalimat seperti

“Misalkan $x, y$ adalah bilangan”

merupakan suatu konvensi dalam bahasa matematika untuk memperbolehkan kemungkinan bahwa $x = y$. Demikian pula, jika kita mengatakan

“Misalkan $P, Q$ adalah titik-titik di bidang datar”

Kita tidak mengesampingkan kemungkinan bahwa $P = Q$. Jika kita ingin mengesampingkan kemungkinan ini, maka kita menyatakannya secara eksplisit. Misalnya, kita akan mengatakan:

“Misalkan $x, y$ adalah bilangan yang berbeda”

atau

“Misalkan $x, y$ adalah bilangan, $x \neq y$”

atau

“Misalkan $P, Q$ adalah titik-titik sedemikian sehingga $P\neq Q$”.

Demikian pula, kita mungkin ingin berbicara tentang beberapa angka alih-alih dua angka seperti $x, y$. Jadi kita bisa mengatakan

“Misalkan $x, y, z$ adalah bilangan”

tanpa mengesampingkan kemungkinan bahwa beberapa angka ini mungkin sama satu sama lain. Jelas bahwa kita akan segera kehabisan huruf alfabet jika hanya menggunakan huruf untuk menghitung angka, dan oleh karena itu kita menggunakan notasi dengan indeks bawah, seperti yang dicontohkan dalam kalimat-kalimat berikut.

“Misalkan $x_1, x_2$ adalah bilangan”

“Misalkan $x_1, x_2, x_3$ adalah bilangan”

“Misalkan $x_1, x_2, x_3, x_4$ adalah bilangan”

Terakhir, dalam kasus yang paling umum kita memiliki kalimat yang sesuai:

“Misalkan $x_1, \space. \space.\space .\space, x_n$ adalah bilangan”

Kami ulangi bahwa dalam kalimat seperti itu, dimungkinkan bahwa $x_i = x_j$ untuk beberapa pasangan subskrip $i, j$ sedemikian sehingga $i \neq j$. Subskrip seperti itu kita sebut sebagai indeks.

Objek yang diindeks oleh bilangan bulat dari $1$ hingga $n$ (atau terkadang dari $0$ hingga $n$) disebut urutan atau sekuens objek atau, lebih tepatnya, urutan terbatas atau finit. Jadi dalam urutan bilangan terbatas, yang dilambangkan dengan

kita mengaitkan sebuah bilangan $x_j$ dengan setiap bilangan bulat $j$ yang memenuhi $1 \leq j \leq n$. Dengan demikian, mempertimbangkan suatu barisan seperti di atas sama artinya dengan mempertimbangkan bilangan pertama $x_1$, bilangan kedua $x_2$, dan seterusnya, hingga bilangan ke-$n$ yakni $x_n$.

Contoh. Untuk setiap bilangan bulat $j$, kita misalkan $x_j = (-1)^j$. Maka

Perhatikan bagaimana dalam urutan ini angka $x_j$ mengambil nilai 1 atau —1.

Contoh. Kita akan mempelajari polinomial nanti, dan kita akan menulis polinomial dalam bentuk

Urutan koefisiennya adalah urutan

Sebagai contoh, urutan koefisien dari polinomial

adalah barisan $\{-5, 4, -2, 4 \}$. Kita memiliki

Notasi

Notasi yang digunakan dalam menjelaskan suatu teori matematika sangatlah penting. Sangat bermanfaat jika halaman cetak terlihat menarik, baik secara visual maupun matematis.

Penting juga agar notasi cukup konsisten, yaitu simbol-simbol tertentu hanya digunakan untuk menunjukkan objek-objek tertentu.

Misalnya, kita menggunakan huruf kecil seperti $a, b, c, x, y, z$ untuk menunjukkan angka.

Kita menggunakan huruf kapital seperti $A, B, P, Q, Y, X, Y$ untuk menunjukkan sebagian besar titik, meskipun kita juga menggunakan $A, B$ untuk menunjukkan sudut. Jika kita melakukan hal tersebut, kita menggunakan $P, Q$ untuk menyatakan titik.

Dalam setiap bagian, kita berusaha untuk tidak mencampuradukkan keduanya. Meskipun tentu saja kita harus selalu menentukan arti sebuah huruf, akan lebih mudah jika penggunaan huruf mengikuti pola tertentu, sehingga kita dapat mengetahui sekilas apa yang diwakili oleh huruf-huruf tertentu.

Notasi bisa jadi sangat rapi. Kita akan melihat di bagian-bagian tentang koordinat bahwa notasi titik dan vektor cukup rapi. Terkadang, notasi bisa terlalu rapi. Kita harap hal ini tidak terjadi di bagian-bagian tersebut.

Kita biasanya menggunakan huruf seperti $f, g, F, G$ untuk fungsi atau pemetaan. Kita tidak dapat mengamati keseragaman sepenuhnya dalam hal ini; jika tidak, kita akan segera kehabisan huruf. Misalnya, kita menggunakan $(a), (b), (c), . . .$ untuk menunjukkan urutan latihan, bukan angka.

Kita menggunakan $m, n$ untuk menyatakan bilangan bulat, kecuali dalam kasus di mana keduanya digunakan sebagai singkatan untuk kata-kata. Misalnya, $m$ terkadang digunakan sebagai singkatan untuk menyatakan ukuran sudut $A$, yang kita tulis $m(A)$.

Dalam tulisan apa pun, tidak mungkin untuk menghindari beberapa kesalahan, kebingungan, ketidaktepatan bahasa, dan penyalahgunaan notasi. Jika kita menemukan hal-hal tersebut dalam laman ini, maka perbaiki atau tingkatkan sendiri, atau tulis tulisan sendiri. Ini masih merupakan cara terbaik untuk mempelajari suatu subjek, selain mengajarkannya.

Referensi

Serge Lang. (1988). Basic mathematics. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1027-6